Question

求z=ln根号下x的平方加Y的平方的二阶导数等于多少？有亲会的吗？？？

Answer 1

这种题，是根号骗了你，很简单的
z=ln√(x²+y²)=(1/2)ln(x²+y²),于是：

∂z/∂x=x/(x²+y²) 类似∂z/∂y=y/(x²+y²)
下面全部用商的导数：
∂²z/∂x²=(1-2x*x)/(x²+y²)²=(1-2x²)/(x²+y²)²
同样：∂²z/∂y²=(1-2y²)/(x²+y²)²
∂²z/∂x∂y=-2xy/(x²+y²)²=∂²z/∂y∂x

Answer 2

这种题，是根号骗了你，很简单的
z=ln√(x²+y²)=(1/2)ln(x²+y²),于是：
∂z/∂x=x/(x²+y²)
类似∂z/∂y=y/(x²+y²)
下面全部用商的导数：
∂²z/∂x²=(1-2x*x)/(x²+y²)²=(1-2x²)/(x²+y²)²
同样：∂²z/∂y²=(1-2y²)/(x²+y²)²
∂²z/∂x∂y=-2xy/(x²+y²)²=∂²z/∂y∂x

Answer 3

z=ln√(x²+y²)
e^z=√(x²+y²)
u=e^(2z)=x²+y²
∂u/∂x = 2e^(2z) ∂z/∂x=2x
解出：
∂z/∂x = x e^(-2z) (1)
由于x、y的对称性，有
∂z/∂y = y e^(-2z) (2)
(1)式两边再对x求偏导数，得到：
∂²z/∂x² = e^(-2z) - 2x e^(-2z) ∂z/∂x
= e^(-2z) (1 - 2x ∂z/∂x) (3)
由x、y的对称性，有
∂²z/∂y² = e^(-2z) (1 - 2y ∂z/∂y) (4)
(1)式两边再对y求偏导数，得到：
∂²z/∂x∂y = 2x e^(2z) ∂z/∂y (5)

注意： e^(2z) = x²+y²
e^(-2z) = 1/(x²+y²)
因此：(1) -> (5) 变成：
∂z/∂x = x / (x²+y²) [1]
∂z/∂y = y / (x²+y²) [2]
∂²z/∂x² = (1-2x ∂z/∂x)/(x²+y²)
= [1-2x²/(x²+y²)]/(x²+y²) [3]
∂²z/∂y² = [1-2y²/(x²+y²)]/(x²+y²) [4]
∂²z/∂x∂y = -2x e^(-2z) ∂z/∂y
= -2xy/(x²+y²)² [5]