Question

大一高数平面及其方程这道题怎么做？

希望有详细步骤

Answer 1

先，我们知道一个平面的方程可以表示为 $ax+by+cz+d=0$，其中 $(a,b,c)$ 是平面的法向量，而 $d$ 是一个常数。
根据题目，我们需要求出一个平面经过原点 $(0,0,0)$ 和点 $(6,-3,2)$，并且与平面 $4z-y+2z=8$ 垂直。那么，我们可以先求出平面 $4z-y+2z=8$ 的法向量，然后再求出与它垂直的平面的法向量。
平面 $4z-y+2z=8$ 可以化简为 $-y+6z=8$，因此它的法向量为 $(0,-1,6)$。
由于我们要求的平面经过原点 $(0,0,0)$ 和点 $(6,-3,2)$，因此它的法向量一定是这两个点的向量叉乘。也就是说，平面的法向量为
\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix}⎝⎛6−32⎠⎞×⎝⎛000⎠⎞=⎝⎛0−120⎠⎞
由于这个向量在 $x$ 和 $z$ 方向上都为 $0$，因此平面的方程可以写成 $-12y+d=0$，其中 $d$ 是一个常数。由于平面经过点 $(6,-3,2)$，代入平面的方程可以得到 $d=72$，因此平面的方程为
-12y+72=0−12y+72=0
或者简化为
y-6=0y−6=0
因此，该平面的方程为 $y=6$。

Answer 2

设该平面的方程为 Ax+By+Cz=0，其中 A，B，C 为待求系数。因为此平面经过原点，所以有：
0A+0B+0C=0
又因为该平面经过点（6，-3,2），所以有：
6A-3B+2C=0
又因为该平面与平面4x-y+2z=8垂直，所以该平面的法向量与平面4x-y+2z=8的法向量垂直。平面4x-y+2z=8的法向量为 (4,-1,2)，所以有
4A-B+2C=0
解方程组
0A+0B+0C=0
6A-3B+2C=0
4A-B+2C=0
得出 A=1，B=2，C=-4，
所以该平面的方程为
x + 2y - 4z = 0
望采拉

Answer 3

1）直接计算即可，就是计算向量积的时候，这里建议写成行列式的形式，这样不容易出错。(2）这里就是在计算之前，先把各个向量前的系数给向量乘上后再计算。(3）这里按公式计算就可以了，所以有些公式要牢记。