Question

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2根号2=（1+根号2）

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2根号2=（1+根号2）的平方，善于思考的小明进行了以下探索:设a+b根号2=（m+n根号2）的平方，期中（a,b,m,n均为整数），则有a+b根号2=m的平方+2n的平方+2mn根号2，所以a=m的平方+2n的平方，b=2mn,这样小明就找到了一种把一些形如a+b的式子化为平方式的方法。请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:1.当a,b,m,n均为正整数时，若a+b根号3=（m+n根号3）的平方，用含有m,n的式子分别表示a,b得a=m的平方+2n的平方b=2mn.(2)利用所探索的结论，找一组正整数a,b,m,n,填空，若a+4根号3=（m+n根号3）的平方，且a,m,n均为正整，求a得值。

Answer 1

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b√3=(m+n√3)²，
用含有m、n的式子分别表示a、b，得a=_m²+3n²______，b=_2mn______。
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n
填空：__9__+___6√3=(__3___+√3)²;(答案不唯一)
（3）若a+4√3=(m+n√3)²，且a、m、n均为正整数，求a的值。
由 b=2mn得
4=2mn
mn=2
a、m、n均为正整数
mn=1*2或mn=2*1
即m=1 n=2或m=2 n=1
当m=1 n=2时
a=m²+3n²=1²+3*2²=13
当m=2 n=1时
a=m²+3n²=2²+3*1²=7

Answer 2

1、a+√3b=（m+√3n）²=m²+2√3mn+3n²
故a=m²+3n²，b=2mn
2、a+4√3=（m+√3n）²=m²+2√3mn+3n²
故a=m²+3n²，2mn=4，mn=2
设m=1，则n=2，a=m²+3n²=13