Question

曲面积分 求(xdydz + ydzdx + zdxdy) /[(x^2+y^2+z^2)^(3/2)]

求∫∫(xdydz + ydzdx + zdxdy) /[(x^2+y^2+z^2)^(3/2)]
积分区域是
(1) 半径为a的上半球的上表面(z>0的上表面)
(2)(x^2)/4 + (y^2)/9 + (z^2)/25 = 1 (z >= 0 的上表面)

第一问我是带入成 a^(-3)*∫∫[(a^2-x^2-y^2)^(1/2)]dxdy 区域是x^2+y^2 <=a
求出来是pi 答案是2pi
第二问是不是可以用 过原点的封闭曲线,如果三个偏导数都相等,则积分区域可以是任意包含原点的封闭曲线? 也就是第一问的答案?
第一问我是带入成 a^(-3)*∫∫[(a^2-x^2-y^2)^(1/2)]dxdy 区域是x^2+y^2 <=a^2 打错了

Answer 1

第一题
∫∫Σ (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= (1/a³)∫∫Σ xdydz + ydzdx + zdxdy
= (1/a³)∫∫Σ x(- ∂z/∂x)dxdy + y(- ∂z/∂y)dxdy + zdxdy
= (1/a³)∫∫D a²/√(a² - x² - y²) dxdy
= (1/a)∫(0，2π) ∫(0，a) r/√(a² - r²) drdθ
= 2π
第二题要注意些地方，用高斯公式是最方便的
由于这个不是封闭曲面，所以要在下面加上一个平面，但是也要绕过不连续的奇点部分
所以，这个平面是一个圆环，从yz面或zx面正看这立体的平面图，是一道彩虹的样子
里面的曲面是小球体x² + y² + z² = λ²，外面的曲面是椭球体x²/4 + y²/9 + z²/25 = 1
P，Q，R的偏导数都相等 ==> 结果与曲面无关(跟格林公式的积分与路径无关的原理相似)
选最简单的曲面Σ1：x² + y² + z² = λ²，取下侧
还要补上圆环Σ2：z = 0，取下侧
∫∫Σ1 (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= (- 1/λ³)∫∫Σ1 x(- ∂z/∂x)dxdy + y(- ∂z/∂y)dxdy + zdxdy
= (- 1/λ³)∫∫D λ²/√(λ² - x² - y²) dxdy
= (- 1/λ)∫(0，2π) ∫(0，λ) r/√(λ² - r²) drdθ
= - 2π
而∫∫Σ2 (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= ∫∫Σ2 0dxdy/(x² + y²)^(3/2) = 0
原积分I = 0 - (- 2π) - 0 = 2π

第二题你的思想没错，结果与曲面无关，可以任选包含奇点的曲面
(外曲面取上侧，内曲面取下侧；反之亦然)，总之原积分不可以包含该奇点，要把其排除在外

追问

谢谢
再问一下第一问
上半球不是关于 xOz 和yOz对称吗 又分别是y和x的奇函数？ ∫∫Σ xdydz + ydzdx 为啥不等于0？
给加分 谢谢！

追答

第一类曲面积分符合 偶倍奇零 性质
第二类曲面积分符合 偶零奇倍 性质
刚好调转的。
∫∫Σ xdydz，分别前侧和后侧
前侧的曲面为Σ1：x = √(a² - y² - z²)
后侧的曲面为Σ2：x = - √(a² - y² - z²)
∫∫Σ xdydz
= ∫∫Σ1 xdydz + ∫∫Σ2 xdydz
= [+ ∫∫D √(a² - y² - z²) dydz] + [- ∫∫D - √(a² - y² - z²) dydz]
= 2∫∫D √(a² - y² - z²) dydz
= 2∫∫Σ1 xdydz