Question

在三角形ABC中，角B=60度，角BAC，角BCA的平分线AD，CE交于点O，猜想OE与OD的大小

在三角形ABC中，角B=60度，角BAC，角BCA的平分线AD，CE交于点O，猜想OE与OD的大小关系和AC,AE,CD的关系。并说话你的理由 如图

Answer 1

OD＝OE，AC＝AE+CD
证明：在AC边上取点F，使AE＝AF，连接OF
∵∠B＝60
∴∠BAC+∠ACB＝180-∠B＝120
∵AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB
∴∠OAC＝∠OAB＝∠BAC/2, ∠OCA＝∠OCB＝∠ACB/2
∴∠AOE＝∠COD＝∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠ACB）/2＝60
∴∠AOC＝180-∠AOE＝120
∵AE＝AF，AO＝AO
∴△AOE≌△AOF （SAS）
∴∠AOF＝∠AOE＝60，OE＝OF
∴∠COF＝∠AOC-∠AOF＝60
∴∠COF＝∠COD
∵CO＝CO
∴△COD≌△COF （ASA）
∴CD＝CF，OD＝OF
∴OD＝OE
∵AC＝AF+CF
∴AC＝AE+CD

Answer 2

1, OE=OD
证明：
连接ED，BO。
∠AOC=180-(BAC/2+∠ACB/2)=180-(∠BAC+∠ACB)/2
=180-(180-∠ABC)/2=90+∠ABC/2=90+30=120
∠EOD=∠AOC=120
∠EBD+EOD=60+120=180 E、O、D、B四点共圆
O点为△ABC内心，　∠EBO=∠DBO=∠ABC/2=30
∠ODE=∠OBE＝30（同弧OE）　 ∠OED=∠OBD=30（同弧OD）
∠ODE=∠OED=30 OE=OD
2, AC=AE+CD
证明：在AC上取AF＝AE，连接EF、DE、OF
∠AOE＝∠COD＝180－EOD＝180-120=60
AE=AF ∠EAO=∠FAO AO=AO △AEO≌△AFO
∠AOF=∠AOE=60 ∠FOC=∠AOC-∠AOF=120-60=60
OE=OF OE=OD OF=OD ∠FOC=∠DOC=60 OC=OC
△CFO≌△CDO CF=CD
AC=AF+CF AF=AE CF=CD
AC=AE+CD