Question

如图，在圆O的内接四边形ABCD中。AB=1,BC=2,CD=3,DA=4.求:(1)AC的长。(

如图，在圆O的内接四边形ABCD中。AB=1,BC=2,CD=3,DA=4.求:(1)AC的长。(2)四边形ABCD的面积。

Answer 1

四点共圆，所以∠B+∠D=180°，即∠D=180°-∠B
由余弦定理：
△ABC中，AC²=AB²+BC²-2×AB×BC×cosB
△BCD中，AC²=AD²+DC²-2×AD×DC×cosD
所以，AB²+BC²-2×AB×BC×cosB=AD²+DC²-2×AD×DC×cosD
1²+2²-2×1×2×cosB=3²+4²-2×3×4×cos(180°-∠B)
5-4cosB=25+24cosB
cosB= -5/7

AC²=AB²+BC²-2×AB×BC×cosB
=1²+2²-2×1×2×(-5/7)
=55/7
所以，AC = √385 / 7

cosB= -5/7，所以，sinB = √24/7，sinD=√24/7
四边形的面积 = △ABC的面积+△BCD的面积
=（1/2）AB×BC×sinB+（1/2）AD×DC×sinD
=（1/2）×1×2×√24/7+（1/2）×3×4×√24/7
=2√6

追问

你能写本上吗。好多都乱码他

追答

追问

太给力了，你的回答完美解决了我的问题！

Answer 2

请看下面：

Answer 3

提示：连接ac，由余弦定理得
cosb=(ab²+bc²-ac²)/2ab*bc=(5-ac²)/4，
cosd=(ad²+cd²-ac²)/2ad*cd=(25-ac²)/24；
∵四边形abcd内接于圆
∴∠b和∠d互补
∴cosb=-cosd
即(5-ac²)/4=-(25-ac²)/24；
∴ac²=55/7，ac＝55√7／7；
∴cosd=5/7，
又sin²d+cos²d=1
∴sind=2√6/7
∴sinb=sind=2√6/7
所以s=1/2×ab×bcsinb+1/2×ad×dcsind=2√6。

Answer 4

用三角函数解把应该，太长时间没用了，忘了

追问

我的问题没有解决，不过感谢你的热心解答！