Question

数学分析的问题 英文题目 连续函数的度量空间的开闭问题 重赏

第一问d1在d(x,y)<d(x,z)+d(z,y) 的地方卡了，微积分忘记完了。。
第二问以及后面，不知道在连续函数的情况下怎么判断开闭性呢？

求针对这道题目的完整答案 谢谢

Answer 1

1题利用Minkowski不等式。
2题只需证任意的f ∈ S，可以存在{fn}包含于 S来逼近f即可.而由f连续，利用Weierstrass逼近定理，这样的fn是存在的

追问

谢谢 可是按定义证明open不是需要证明存在r>0 使得 Ball(a,r)属于S吗 在这一题目中这个ball怎么理解呢
而且不仅是要证明fn存在，还要证明所有这样的fn都属于S不是吗

追答

此题比较简单，直接取
fn(x)=f(x)+x/n
即可.