Question

求一道罗尔定理数学题

为什么b选项不对？

Answer 1

要判断函数 $f(x)=\sqrt{x^2}$ 在区间 $[-1,1]$ 上是否满足罗尔定理条件，需要满足以下两个条件：

• 在区间 $[-1,1]$ 内 $f(x)$ 连续；

• 在区间 $(-1,1)$ 内 $f(x)$ 可导并 $f' (x) = 0$ 的点至少有一个。

首先，因为 $f(x)=\sqrt{x^2}$，所以对于任意 $x \in [-1,1]$，有 $f(x)=|x|$，这个函数在定义域内连续，因此满足第一个条件。

然后，对于 $x \in (-1, 1)$，$f(x)=|x|$ 可导，其导数为 $f'(x)=\frac{x}{|x|}$。显然当 $x<0$ 或 $x>0$ 时，$f'(x)$ 均不等于 $0$，但在 $x=0$ 时，$f'(x)$ 不存在。因此，不存在 $f'(x)$ 在 $(1,-1)$ 内恰有一个零点，因此 $f(x)=\sqrt{x^2}$ 在区间 $[-1,1]$ 上不满足罗尔定理条件。

综上所述，函数 $f(x)=\sqrt{x^2}$ 在区间 $[-1,1]$ 上不满足罗尔定理条件。

Answer 2

D。洛尔定理就是f（-1）=f（1），则函数一定在这个区间内部取得极值，所以D中x小于0无意义。
罗尔定理描述如下： 如果R上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间[a,b] 上连续，（2）在开区间(a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
也就是说要满足在[-1,1]上连续，(-1,1)上可导
D选项满足全部条件，故选D。

Answer 3

罗尔中值定理：
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
b的函数相当于 f(x) = |x|，这个函数在x = 0明显不可导，因此不正确。

Answer 4

求解罗尔定理数学题：如果一个三角形的三条边分别为a,b,c，那么有a²+b²=c²吗？

答案是否定的。根据罗尔定理，一个三角形的三条边分别为a,b,c时，有a²+b²=c²+2ab。所以在这种情况下，a²+b²不等于c²。