Question

一道分段函数题目要过程!

中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元;销售收入R(x)满足R(x)=-0.4x^2+4.2x-0.8(0≤x≤5)，R(x)=10.2(x>5)
1.要是工厂有盈利，产量应控制在什么范围内？
2.工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
每生产产品X(百台)，总成本为G(X)(万元)，其中固定成本为2万元，每生产一百台的生产成本为一万元， (总成本等于固定成本加生产成本)，销售收入R(X)(万元)满足R(x)=-0.4x^2+4.2x-0.8(0≤x≤5)，R(x)=10.2(x>5)
1.要是工厂有盈利，产量应控制在什么范围内？
2.工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？

Answer 1

解：
1、工厂有盈利的意思是说除了成本，剩下了多少钱
所以就是
盈利=销售总额-成本
设盈利为Y万元
就有
Y=R(x)-x-2
当0≤x≤5时
就有
Y=-0.4x²+4.2x-0.8-x-2=-0.4x²+3.2x-2.8=-0.4（x²-8x+7）＞0
即x²-8x+7＜0解得1＜x＜7
综合0≤x≤5，得1＜x≤5
当x＞5时就有
Y=10.2-x-2＞0
得x＜8.2
所以是5＜x＜8.2
综上可得产量应该是在1＜x＜8.2
2、要使盈利最多，就是Y取得最大值
所以就是
当0≤x≤5时
Y=-0.4（x-4）²+3.6，当x=4时取得最大值
Ymax=3.6万
当x＞5时
Y=10.2-x-2
因为单调递减，所以当x=5时最大
Ymax=3.2万
综上所诉
当x=4时，有最大值Ymax=3.6万

Answer 2

L(x)=利润=销售收入－成本=R(x)－(x)－2 【本题中，x的单位为百台】
一、因R(x)是分段函数，则需要讨论下。
1、若0≤x≤5，则只需要L(x)>0即可，得：
－0.4x²＋4.2x－0.8－x－2>0 解得：1<x<7，即：0≤x≤5时满足；
2、若x>5，则L(x)>0等价于：10.2－x－2>0，得：x<8.2
总结：当0≤x<8.2时，工厂有盈利。

二、继续类似上题的分类讨论。
1、当0≤x≤5时，L(x)=－0.4x²＋3.2x－2.8=－(0,4)(x－4)²＋3.6
所以当x=4时，L(x)的最大值是3.6万元
2、若x>5，则L(x)=10.2－x－2=8.2－x，此时L(x)的最大值是当x=5时取得的，是3.2万元【取不到】
总结：当x=4时，利润最大，最大是3.6万元。

追问

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