Question

图片中高中数学第12题不明白，盼高手详细讲解分析，谢谢！

答案：1、k=-1/2; 2、a>1或a=-2-2√2

Answer 1

1、因为f(x)为偶函数，所以对任意的x0均有 f(x0)=f(-x0)
取x0=1, 有 f(1)=log4(5)+k=log4(5/4)-k=f(-1)
解方程有 k=-1/2

2、将f(x)表达式代入方程f(x)=log4(a*2^x-a)得到：首先保证真数部分a*2^x-a>0
log4(4^x+1)-x/2=log4(a*2^x-a),将对数项移到等式左边得到 log4((4^x+1)/(a*2^x-a))=x/2
等式两边同时转化为以4为底的指数，有：
(4^x+1)/(a*2^x-a)= 4^(x/2)=2^x 这里换元另t=2^x>0
化简得到二次方程：t²+1=a(t²-t) 继续化简有 (a-1)t²-at-1=0------------（*）
要有原方程根唯一，则有方程（*）有唯一正根。
①、 a=1时，有t=-4 与t>0矛盾；
②、 当a>1时， 若使得原方程根唯一，则有二次方程的判别式非负且两根之积为负值。
则 -4/(a-1)>0 and △=a²+4(a-1)>=0
联立得到： a>1
③、当a<1时，假设两根都存在。此时两根之积显然为正值，与该方程有唯一正根矛盾。
因此该情形下只有当两实根相等，才符合题意。
当 △=a²+4(a-1)=0 and a<1 得到：a=-2±2√2
同时 t=a/(2a-2)>0
上式联立得到a=-2-2√2

综上有 a>1或a=-2-2√2

不懂请留言追问，谢谢！

追问

③、当a<1时，假设两根都存在。此时两根之积显然为正值，与该方程有唯一正根矛盾。
因此该情形下只有当两实根相等，才符合题意。
这处不太理解，能否再具体说明一下？

追答

因为对本题而言，若有原方程根唯一 则有二次方程有唯一正根。
a0， 不难发现此时两根符号相同，与方程要有唯一的正根矛盾。 故该情形不符合要求；
②、假设二次方程根的个数为1， 即为答案中所述。不再重复
③、假设二次方程无解，显然也不符合题意。

综上，只有情形②符合要求。

Answer 2

第一问的话我们可以用特殊值代入求出，比如根据题目中的偶函数可知，f(1)=f(-1),即可求出K的值

Answer 3

这是啥？
太难了。