Question

高等数学小问题

教材上说：“设空间曲线C一般方程为{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0},消去Z后得H（x,y)=0,则{H(x,y)=0,z=0}所表示的曲线必定包含空间曲线C在xoy面上的投影”，请问这里“必定包含”是什么意思？我觉得可以把“包含”两字去掉，所表示的曲线就是空间曲线C在xoy面上的投影，对吗？如果不对，能否举个反例
老师给的解答:”举个符合题意的例子 C：x=z^(1/2)，y=z^(1/3)，
消去z，得到y=x^(2/3)。投影曲线为y=x^(2/3)，z=0。”我认为这个不是反例!是不是老师写错了?应该是投影曲线为y=x^(2/3)，z>0?
到底是我理解错了还是老师的错？求解

Answer 1

你可以这样理解 ，在消去z的过程中 其实是没有对x，y，z加以限制的，但题目实际上可能对xyz有限制。所以你联立方程解出来的投影曲线是 整个xoy平面的，所以说是包含你需要求的投影。
比如 你老师的这个例子，实际上x＞0，y∈R的，而求出来的投影曲线 x∈R，y＞0的，两个得取交集，x,y均＞0 。
就也是说 [ h（x，y），x=0] 可能是x，y都∈R的时候的投影，包含了所有的x，y有限制的投影。

追问

你是不是写错了？应该是[h(x,y),z=0]，而不是[h(x,y),x=0]!

追答

恩 ，打错了 应该是z 了解就好 别说出来。。

Answer 2

投影曲线确实为y=x^(2/3)，z=0
因为是投影在xoy平面上的，所以z必须为0

追问

这样说的话，教材“包含”两字可以去掉了

追答

对的，可以去掉

追问

自己不清楚就不能随便回答！做人要实事求是！

追答

哼哼

哼哼

Answer 3

我也想了半天，觉得应该用“就是”，而用“包含”好像是有点儿不妥。