Question

9.10两题，求解题，

Answer 1

9.连接EF、A'B、A'C'、AE，由ABCD-A'B'C'D'为正方体和勾股定理可知EF²=EC²+CF²，
令正方形ABCD的半斜边长BF=a（当然也可令边长为a只是计算过程麻烦点），
由正方体性质有：A'A=AB=√2a，A'B=A'C'=2a，E为CC'中点，则EC'=EC=1/2·AA'=√2/2a，
则EF²=EC²+CF²=(√2/2a)²+a²=3/2a²，同理有：A'F²=A'A²+AF²=3a²，
A'E²=A'C²+EC²=9/2a²，则有EF²+A'F²=A'E²,A'B²=A'F²+BF²,
有勾股逆定理有三角形A'FB，A'FE为直角三角形，则有A'F⊥BF,A'F⊥EF，
A'F垂直于平面BED的两条相交线，因此A'F⊥平面BED，得证。（这里将下缀1改成上缀’）。
10 .
（1）PA⊥平面ABC则有PA⊥BC，又∠BCA=90°有BC⊥CA因此BC⊥平面PAC。
（2）DE∥BC，且点D为PB中点，即DE为三角形PCB的中位线，
则有BC=2·DE，DE⊥平面PAC即∠DEA=90°，线AD与平面PAC交角的正弦值即为sin∠DAE，
有直角三角形ACB中，∠ABC=60°，则AC=√3·BC=2√3DE，
DE为三角形PCB中位线则E为AC中点，AE为直角三角形PAC斜边PC的中线，
则AE=1/2·PC=√3DE，由勾股定理有，AD²=AE²+DE²，可得AD=2DE，
因此sin∠DAE=DE/AD=2，线AD与平面PAC交角的正弦值即为2。