Question

己知{an}是 等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27

己知{an}是 等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10，(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)记Tn=anb1+a(n-1)b2+...+a1bn，n∈N*，证明:Tn+12=-2an+10bn(n∈N*)

Answer 1

∵a4+b4=27,s4-b4=10 ∴a4＋S4＝37 ∴a4＋2a1＋2a4＝37 ∴2a1＋3a4＝37
∴5a1＋9d＝37 ∴9d＝27 ∴d＝3 ∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－1
∵a4＋b4＝27 ∴11＋2q³＝27 ∴q³＝8 ∴q＝2 ∴bn＝b1q^(n－1)＝2^n
∵Tn＝anb1＋an-1b2＋...＋a1bn ∴2Tn＝anb2＋an-1b3＋...＋a2bn＋a1bn+1
两式相减得：Tn＝(an－an-1)b2＋(an-1－an-2)b3＋...＋(a2－a1)bn＋a1bn+1－anb1
＝3(b2＋b3＋...＋bn)＋a1bn+1－anb1
＝3×2²[2^(n－1)－1]＋2×2^(n＋1)－2an
＝3×2×2^n－12＋4×2^n－2an
＝6bn－12＋4bn－2an
∴Tn＝10bn－12－2an 即 Tn＋12＝﹣2an＋10bn