周期函数怎么算

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教育小百科达人
2020-11-03 · TA获得超过156万个赞
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比如说f(x+1)=-f(3+x),求f(x)的周期。

1、做变量替换令y=x+1 ,得到 f(y)= -f(y+2);

2、再一次套用这个式子,得到f(y+2)=-f(y+4);

3、两个式子结合,得到f(y)=f(y+4),所以,周期是4。

关键的地方是:凑出f(x)=f(x+T),这时候T就是周期。而上面3个步骤就是往这个方向凑。



扩展资料:

若f(x)是在数集M上以T*为最小正周期的周期函数,则K f(x)+C(K≠0)和1/ f(x)分别是集M和集{X/ f(x) ≠0,X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。

证:

∵T*是f(x)的周期,∴对 有X±T* 且f(x+T*)= f(x),∴K f(x)+C=K f(x+T*)+C,

∴K f(x)+C也是M上以T*为周期的周期函数。

若f(x)是集M上以T*为最小正周期的周期函数,则f(ax+b)是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数,(其中a、b为常数)。

Sievers分析仪
2024-10-13 广告
是的。传统上,对于符合要求的内毒素检测,最终用户必须从标准内毒素库存瓶中构建至少一式两份三点标准曲线;必须有重复的阴性控制;每个样品和PPC必须一式两份。有了Sievers Eclipse内毒素检测仪,这些步骤可以通过使用预嵌入的内毒素标准... 点击进入详情页
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匿名用户
2013-09-17
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定义通俗定义  对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。 严格定义  设f(x)是定义在数集M上的函数,如果存在非零常数T具有性质;   (1)对 有(X±T) ;   (2)对 有f(X+T)=f(X)   则称f(X)是数集M上的周期函数,常数T称为f(X)的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的,则称它是函数f(X)的最小正周期。   由定义可得:周期函数f(X)的周期T是与X无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期。 [编辑本段]周期函数性质  (1)若T(≠0)是f(X)的周期,则-T也是f(X)的周期。   (2)若T(≠0)是f(X)的周期,则nT(n为任意非零整数)也是f(X)的周期。   (3)若T1与T2都是f(X)的周期,则T1±T2也是f(X)的周期。   (4)若f(X)有最小正周期T*,那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。   (5)T*是f(X)的最小正周期,且T1、T2分别是f(X)的两个周期,则 (Q是有理数集)   (6)若T1、T2是f(X)的两个周期,且T1/T2是无理数,则f(X)不存在最小正周期。   (7)周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。 [编辑本段]周期函数的判定   定理1      若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C(K≠0)和1/ f(X)分别是集M和集{X/ f(X) ≠0,X }上的以T*为最小正周期的周期函数。 [1]   证:   ∵T*是f(X)的周期,∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X),∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C,   ∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。   假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期,则必存在T’( 0<T’<T*)是K f(X)+C的周期,则对 ,   有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0,∵K≠0,∴f(X+T’)- f(X)=0,∴f(X+T’)= f(X),   ∴T’是f(X)的周期,与T*是f(X)的最小正周期矛盾,∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。   同理可证1/ f(X)是集{X/ f(X) ≠0,X }上的以T*为最小正周期的周期函数。 定理2  若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数,则f(aX+n)是集{X/aX+ b }上的以T*/ 为最小正周期的周期函数,(其中a、b为常数)。   证:   先证 是f(ax+b)的周期   ∵T*是f(X)的周期,∴ ,有X±T*∈M,∴a(X± )+b=ax+b±T*∈M,且f[a(X+ )+b]=f(ax+b±T*)=f(ax+b)∴ 是f(ax+b)的周期。   再证 是f(ax+b)的最小正周期   假设存在T’(0<T’< )是f(ax+b)的周期,   则f(a(x+T’)+b)=f(ax+b),即f(ax+b+aT’)=f(ax+b),   因当X取遍{X/X∈M,ax+b∈M}的各数时,ax+b就取遍M所有的各数,   ∴aT’是f(X)的周期,但 <=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。 定理3  设f(u)是定义在集M上的函数u=g(x)是集M1上的周期函数,且当X∈M1时,g(x)∈M,则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。   证:   设T是u=g(x)的周期,则 1有(x±T)∈M1且g(x+T)=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x))   ∴=f(g(x))是M1上的周期函数。   例1   设=f(u)=u2是非周期函数,u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数,则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。   同理可得:(1)f(X)=Sin(cosx),(2)f(X)=Sin(tgx),(3)f(X)=Sin2x,(4)f(n)=Log2Sinx(sinx>0)也都是周期函数。   例2   f(n)=Sinn是周期函数,n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数,f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数(中学数学中已证)。   例3   f(n)=cosn是周期函数,n=g(x)= (非周期函数)而f(g(x))=cos 是非周期函数。   证:假设cos 是周期函数,则存在T>0使cos (k∈Z) 与定义中T是与X无关的常数矛盾,   ∴cos 不是周期函数。   由例2、例3说明,若f(u)是周期函数,u= g(X)是非周期函数,这时f(g(x))可能是,也可能不是周期函数。 定理4  设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数,T1、T2分别是它们的周期,若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数,T1与T2的公倍 数为它们的周期。   证:   设 ((p·q)=1)设T=T1q=T2p则有: 有(x±T)=(x±T1q)=(x±T2p)∈M,且f1(x+T) ±f2(x+T)= f1(x+T1q) ±f2(x+T2p)= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证:f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。    定理4推论     设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期,若, … (或T1,T2……Tn中任意两个之比)都是有理数,则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。   例4   f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。   例5   讨论f(X)= 的周期性   解:2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。   5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。   tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。   又 都是有理数   ∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数(T1、T2、T3)= 为最小正周期的周期函数。   同理可证:   (1)f(X)=cos ;   (2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。 定理5  设f1(x)=sin a1x,f2(x)=cosa2x,则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。   证   先证充分性:   若a1/a2∈Q,设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期,则T1= 、T2= ,又 ∈Q   由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。   再证必要性(仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明)。   (1)设sina1x-cosa2x为周期函数,则必存在常数T>0,   使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。   令x= 得2cos(a1x+ ),则 (K∈Z)。(2)   或 C∈Z(3)   又在(1)中令 2sin(a2x+ )sin =-2sin =0   由(4)   由sin (5)   由上述(2)与(3),(4)与(5)都分别至少有一个成立。   由(3)、(5得 )(6)   ∴无论(2)、(4)、(6)中那一式成立都有a1/a2 。   (2)设sinaxcosa2x为周期函数,则 是周期函数。 [编辑本段]非周期函数的判定  [1](1)若f(X)的定义域有界   例:f(X)=cosx( ≤10)不是周期函数。   (2)根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的,故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0,若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数,若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。   例:f(X)=cos 是非周期函数。   (3)一般用反证法证明。(若f(X)是周期函数,推出矛盾,从而得出f(X)是非周期函数)。   例:证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。   证:假设f(X)=ax+b是周期函数,则存在T(≠0),使对 ,a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0,∴T=0与T≠0矛盾,∴f(X)是非周期函数。   例:证f(X)= 是非周期函数。   证:假设f(X)是周期函数,则必存在T(≠0)对 ,有(x+T)= f(X),当x=0时,f(X)=0,但x+T≠0, ∴f(x+T)=1,∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾,∴f(X)是非周期函数。   例:证f(X)=sinx2是非周期函数   证:若f(X)= sinx2是周期函数,则存在T(>0),使对 ,有sin(x+T)2=sinx2,取x=0有sinT2=sin0=0,∴T2=Kπ(K∈Z),又取X= T有sin( T+T)2=sin( T)2=sin2kπ=0,∴( +1)2   T2=Lπ(L∈Z+),∴   与3+2 是无理数矛盾,∴f(X)=sinx2是非周期函数。
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宇元飞翔
2019-05-17 · TA获得超过576个赞
知道小有建树答主
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没有具体的通用公式,具体问题具体分析
常见的题型有三种:
一,y=Asin(ωx+φ),最小正周期T=2π/|ω|
二,h(x)=f(x)±g(x)或h(x)=f(x)*g(x) (f(x)和g(x)均是周期函数)
三,周期函数和奇函数/偶函数结合在一起
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or...a@163.com
2021-04-01
知道答主
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乐卓手机
2019-05-17 · 乐卓全面屏手机,一部拥有黑科技的手机。
乐卓手机
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呈周期变化的函数,其周期的求法是根据周期函数的定义,设法找到一个常数c使
f(x+c)=f(x)
如:奇函数f(x)满足
f(2+x)= - f(2-x)
求函数的周期:
因为f(2+x)= - f(2-x)= - [-f(x-2)]=f(x-2)
f(x+4)=f[(2+(x+2)]=f[(x+2)-2]=f(x)
所以函数f(x)是 以4为周期的周期函数
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