Question

已知四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，四边形的四边中点分别为E、F、G、H，证明这四个点在同一圆上

Answer 1

连接EF,EH,HG,FG.在三角形ABC中，E F分别为AB,BC 的中点，所以EF是三角形的中位线，根据中位线定理有EF平行于AC.同理可得HG平行于AC，EH和FG平行于BD,所以EFHG是平行四边形，又因为AC⊥BD，所以平行四边形EFHG是矩形。连接EG和HF相交于M点，则M点将两条对角线平分，因为矩形的对角线相等，所以M点到E,F,H,G四个点的距离相等，即E,F,G,H,在以M点为圆心的一个圆上。

Answer 2

首先你一看到求四点共圆，一般用到托勒密定理，须满足(EH乘以GF)+(EF乘以HG)=EG乘以HF，两个两边之积的和等于两对角线之积，证明；因为四边形的四边中点分别为E、F、G、H，连接EH,FG,EF,HG,根据三角形，中位线，EH=1/2BD=FG且平行,EF=1/2=HG且平行,可得EH//GF,EF//HG,为平行四边形，又因为四边形ABCD的对角线AC⊥BD，所以四边形EHGF为矩形，EH=GF,EF=HG,设EH=GF=a，EF=HG=b，对角线根据勾股定理，,又因为(EH乘以GF)+(EF乘以HG)=a乘以a+b乘以b=a^2+b^2,因为矩形对角线相等，所以对角线之积为 EG乘以HF=（根号下a^2+b^2）^2=a^2+b^2,上下两式相等，满足(EH乘以GF)+(EF乘以HG)=EG乘以HF，即为托勒密定理，所以四点共圆