Question

3.设随机变量X的概率密度为fx(x)=求随机变量+Y=X^2+和Y+=2X++3的概率密度

Answer 1

首先，由于Y=X^2，可以求出Y的概率密度为fy（y）。
对于任意y，有：
P（Y <= y） = P（X^2 <= y） = P（-sqrt（y） <= X <= sqrt（y））
因为X是随机变量，所以可以根据fx（x）计算上述概率密度。
当y < 0时，fy（y） = 0，因为X^2 >= 0。
当y >= 0时，有：
fy（y） = P（Y <= y）的导数
= d[P（-sqrt（y） <= X <= sqrt（y））]
= d[从 -sqrt（y） 到 fx（x） dx 的 sqrt（y） 的积分]
= d[2 * fx（x） dx 的 0 到 sqrt（y） 的积分]
= 2 * fx（sqrt（y）） * 1/（2sqrt（y）） （应用基本的微积分定理和偏导数链式法则）
= fx（sqrt（y）） / sqrt（y）
所以，Y的概率密度为fy（y） = fx（sqrt（y）） / sqrt（y）。
接下来，考虑随机变量Y+的概率密度。由于Y+=2X+3，可以将其表示为Y+ = g（X）的形式，其中g（x） = 2x+3。因此，可以使用函数变量法计算Y+的概率密度。
对于任意y，有：
P（Y+ <= y） = P（2X+3 <= y）
因为X是随机变量，所以可以根据fx（x）计算上述概率密度
当y < 3时，fy+（y） = 0，因为2X+3 >= 3。
当y >= 3时，有：
fy+（y） = P（Y+ <= y）的导数
= d/DY[P（2X+3 <= y）]
= d/DY[从 -无穷大到 （y-3）/2 的积分 fx（x） dx]
= fx（（y-3）/2） * 1/2 （应用基本的微积分定理和偏导数链式法则）
所以，Y+的概率密度为fy+（y） = fx（（y-3）/2） * 1/2。