Question

如何通过函数的值域来确定它的单调性??

Answer 1

我们可以通过分析正弦函数、余弦函数的主要性质来得出我们所求的值域!
(1)定义域
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R,分别记作
y=sinx,x∈R,
y=cosx,x∈R,
其中R当然可以换成(-∞,+∞)．
(2)值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,
所以|sinx|≤1,|cosx|≤1,即
-1≤sinx≤1,
-1≤cosx≤1．
这说明正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1．其中正弦函数当且仅当
时取得最大值1,当且仅当
时取得最小值-1；而余弦函数当且仅当
x=2kπ,k∈Z
时取得最大值1,当且仅当
x=(2k+1)π,k∈Z
时取得最小值-1．
(3)周期性
由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)可知,正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的．图4-20正是按此性质画出的．
一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有
f(x+T)=f(x),
那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
例如,2π,4π,…及-2π,-4π,…都是正弦函数和余弦函数的周期．事实上,任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期．
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
例如,2π是正弦函数的所有周期中的最小正数①,所以2π是正弦函数的最小正周期．
根据上述定义,我们有：
正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期,最小正周期是2π．