Question

求助高中数学导数的应用 :若函数fx=x/(x^2+a)，(a＞0)，在[1，+∞)上的最大值为√

求助高中数学导数的应用
:若函数fx=x/(x^2+a)，(a＞0)，在[1，+∞)上的最大值为√3/3 ，则a的值为？ 详细过程，谢谢

Answer 1

若函数f(x)=x/(x^2+a)，(a＞0)，在[1，+∞)上的最大值为√3/3 ，则a的值为？

解析：∵函数f(x)=x/(x^2+a)，(a＞0)，在[1，+∞)上的最大值为√3/3
令f’(x)=(a-x^2)/(x^2+a)^2=0==>x1=-√a，x2=√a
x∈(0, √a)时，f’(x)>0；x>√a时，f’(x)<0；
∴f(x)在x2=√a时，取极大值
若在x=1时取得极大值，则a=1==>f(1)=1/(1+1)=1/2≠√3/3
若在x>1时取得极大值，则a>1==>f(√a)=√a/(2a)
令√a /(2a)=√3/3==>a=3/4，显然与a>1相矛盾
∴函数f(x)必在a<1时取得极大值
则函数f(x) 在[1，+∞)上的最大值为f(1)=1/(1+a)=√3/3
∴a=(3-√3)/√3=√3-1

追问

太给力了，你的回答完美解决了我的问题！

Answer 2

方法1：利用均值不等式 

f(x)=x/(x^2+a)  上下同除x得到fx=1/(x+(a/x))，(a>0)

x+(a/x),利用均值不等式x+(a/x)>=2√a  当x=a/x时，即a=x^2>=1

所以f(x)<=1/(2√a)

最大值为1/(2√a)  所以1/(2√a) =√3/3 所以a=3/4,这与a>1矛盾

所以不可以直接用均值不等式（不满足满足一正，二定，三相等，相等取不到，那么最大值自然也就取不到）

注意：利用均值不等式要满足三个条件（一正，二定，三相等），一个不满足也不能用

方法2：利用导数

f'（x）=(-x^2+a)/(x^2+a)^2     

（1）当0<a<=1时 

-x^2+a<=0,f'（x）<0,函数f（x）单调不增，所以最大值为f（1）=1/1+a=√3/3,a=√3-1

（2）当a>1时

当x<a时，-x^2+a>0，f'（x）>0

当x>a时，-x^2+a<0，f'（x）<0

当x=a时，，-x^2+a=0，f'（x）=0

所以在x=a处取得极大值，即为最大值a/（a^2+a）=√3/3,  解得a=√3-1或a=0，均与a>1 矛盾，所以不成立

 

综上（1）（2）可得a=√3-1矛盾

追问

那么√3-1是错误的？可是答案就是这个呢，还是谢谢你这么仔细

追答

是正确的啊 你看看第一种情况解除的答案不就是这个吗
（1）当0<a<=1时
-x^2+a<=0,f'（x）<0,函数f（x）单调不增，所以最大值为f（1）=1/1+a=√3/3,a=√3-1
此时解出的解是√3-1 且符合假设条件0<a<=1 所以是正确的啊

只是第二种假设条件下解出的解与假设矛盾而已

追问

啊没看清楚(⊙o⊙)…TT 对不起啦

追答

呵呵 没事

Answer 3

f(x)=x/(x^2+a)=1/(x+a/x)≤1/2√a=√3/3所以a=3/4

追问

我也是这样做得，可是是这几个选项诶。。苦恼啊

追答

额，不好意思。你等我下我手机不好写，我把正确过程给你啊点击[http://pinyin.cn/1rSy0U7dTWh] 查看这张图片。[访问验证码是：850220请妥善保管]

追问

我找到正确答案了，不过还是谢谢你