利用拉氏变换求解微分方程y’-y=e^t,y(0)=0？
你好！根据你提供的微分方程y'-y=e^t，我们可以利用拉普拉斯变换来求解。首先，对于任何函数f(t)，它的拉普拉斯变换L[f(t)]定义为：
L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) * f(t) dt
这里，s是一个复数，并且L[f(t)]也是一个复数。现在，我们来将原方程应用拉普拉斯变换：
L[y'(t)] - L[y(t)] = L[e^t]
因为L[dy/dt] = sL[y] - y(0)，所以有：
sL[y(t)] - y(0) - L[y(t)] = L[e^t]
代入初始条件y(0)=0，得到：
sL[y(t)] - L[y(t)] = L[e^t]
移项可得：
L[y(t)] * (s-1) = L[e^t]
解出L[y(t)]，得到：
L[y(t)] = L[e^t] / (s-1)
那么我们需要计算的就是L[e^t]了。因为：
L[e^at] = 1 / (s-a)
所以：
L[e^t] = L[e^(t-0)] = 1 / (s-0) = 1/s
代入求解Y(s)的表达式，我们有：
L[y(t)] = 1/s * 1/(s-1)
也就是说：
L[y(t)] = 1/(s*(s-1))
现在，我们需要找到y(t)的拉普拉斯逆变换，可以通过将上面的表达式进行分解因式，得到：
L[y(t)] = 1/(s*(s-1)) = A/s + B/(s-1)
其中A和B是待定系数。将它们代入原方程中，并通分，我们有：
1 = A(s-1) + Bs
对于s=0，则有
1 = -A
对于s=1，则有：
1 = B
所以：
A = -1，B = 1
将它们带回分解因式的表达式，有：
L[y(t)] = (-1)/s + 1/(s-1)
现在，我们需要计算y(t)的拉普拉斯逆变换。使用拉普拉斯逆变换公式：
L^-1[F(s)] = 1/(2πi) ∫[σ-i∞,σ+i∞] e^(st) * F(s) ds
其中，F(s)是任意的拉普拉斯函数，σ是一个实数大于所有F(s)的极点的实部。对于我们要求的y(t)，它的极点是s=0和s=1，因此，我们可以取σ=2。
将L[y(t)]代入公式，然后应用留数定理计算积分，最终得出：
y(t) = -e^t + 1
因此，原微分方程y'-y=e^t，y(0)=0的解为：
y(t) = -e^t + 1
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L{y’} = L{y+e^t}
sY(s) - y(0) = Y(s) + L{e^t}
sY(s) = Y(s) + 1/(s-1)
将初始条件y(0)=0代入，得到sY(s) = Y(s) + 1/(s-1)。将Y(s)移到左侧，得到：
Y(s) - 1/(s-1) = Y(s)/s
将Y(s)拆分成部分分式，得到：
Y(s) = 1/(s-1) + 1/(s(s-1))
对第一项进行拉普拉斯反变换，得到：
y1(t) = e^t
对第二项进行部分分式分解，得到：
1/(s(s-1)) = 1/s - 1/(s-1)
对两项分别进行拉普拉斯反变换，得到：
y2(t) = 1 - e^t
因此，原微分方程的通解为：
y(t) = y1(t) + y2(t) = e^t + 1 - e^t = 1 + e^t
带入初始条件y(0)=0，解得常数C= -1，因此特解为：
y(t) = 1 + e^t - 1 = e^t
因此，原微分方程的解为y(t) = e^t。
