Question

为什么二重积分要用曲线将积分区域分成两部分

Answer 1

1、曲线段的方程为xy＝1

点(x,y)位于曲线段左下侧时，xy＜1；而点(x,y)位于曲线段右上侧时，xy＞1。

所以，当(x,y)∈D1时，max{xy,1}＝1。

当(x,y)∈D2时，max{xy,1}＝xy。

既然在不同的区域被积函数的表达式不同，当然要用曲线xy＝1把积分区域分成D1、D2两部分。

2、之所以又在x＝1/2处将D2上的二重积分分成两部分，原因在于：在x的变化范围[0,1/2]上，y的变化范围是从0到2；而在x的变化范围[1/2,2]上，y的变化范围是从曲线xy＝1上对应的y＝1/x到2。

二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。

几何意义

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

以上内容参考来源：百度百科-二重积分