Question

根号下(1/ x)的泰勒展开式怎么求？

Answer 1

根号下（1+x）的泰勒展开可以通过泰勒公式来计算。泰勒公式的一般形式如下：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...

对于根号下（1+x），我们可以选择以a=0展开。然后我们需要计算f(a)、f'(a)、f''(a)和f'''(a)，分别代入泰勒公式的相应位置进行展开。

f(a) = f(0) = √1 = 1

f'(a) = f'(0) = (1+x)^(-1/2)的导数 = (-1/2)(1+x)^(-3/2)

f''(a) = f''(0) = (-1/2)(-3/2)(1+x)^(-5/2)

f'''(a) = f'''(0) = (-1/2)(-3/2)(-5/2)(1+x)^(-7/2)

代入泰勒公式的展开式中，得到：

√(1+x) ≈ 1 + (-1/2)(1+x)^(-3/2)(x-0)/1! + (-1/2)(-3/2)(1+x)^(-5/2)(x-0)^2/2! + (-1/2)(-3/2)(-5/2)(1+x)^(-7/2)(x-0)^3/3! + ...

化简整理后，展开式为：

√(1+x) ≈ 1 - 1/2 * x + 1/8 * x^2 - 1/16 * x^3 + ...

这就是根号下（1+x）的泰勒展开式。展开式中的每一项都是x的幂次的多项式，随着幂次的增加，近似程度提高。