Question

函数极限的定义为什么要规定这两个前提条件？

对于函数极限的定义为什么要分别规定当X→Xo时，“设函数f(x)在点Xo的某一去心邻域内有定义”和当X→∞时，“设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义”这两个前提条件呢？

Answer 1

因为X→Xo和X→∞本身就是两个过程

X→Xo表示X向Xo无限接近的过程，但不相等。“设函数f(x)在点Xo的某一去心邻域内有定义”中的“去心邻域”，1、体现了X→Xo，但不相等；2、使极限的定义更为广泛，即使f(x)在Xo处没有意义也可以求极限。“有定义”很好理解吧，没有定义就谈不到f(x)的值得问题了！

X→∞表示X向∞方向无限延伸的过程，肯定是永远也达不到的。“设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义” 中的“|x|大于某一正数时有定义”，表示当|x|比较小时，f(x)有没有定义无所谓，并不影响该极限的定义。

Answer 2

因为函数的极限是个无限趋近的过程，所以这个无限趋近必须要有定义才能函数值趋近否则没有意义。

Answer 3

函数的极限在某种程度上反映了这个函数连续的性质，虽然函数存在极限不一定连续，连续也不一定存在极限，但这种定义保证了函数在极限处有意义。