Question

一元二次方程的三种解法

1.配方法5个例题2.因式分解法5个例题3.公式法5个例题（要写解法哦）

Answer 1

　　1、直接开平方法：
　　直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为x=±根号下n+m .
　　例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
　　分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
　　（1）解：(3x+1)2=7×
　　∴(3x+1)2=5
　　∴3x+1=±(注意不要丢解)
　　∴x=
　　∴原方程的解为x1=,x2=
　　（2）解： 9x2-24x+16=11
　　∴(3x-4)2=11
　　∴3x-4=±
　　∴x=
　　∴原方程的解为x1=,x2=
　　2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
　　先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
　　将二次项系数化为1：x2+x=-
　　方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
　　方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
　　当b^2-4ac≥0时，x+ =±
　　∴x=(这就是求根公式)
　　例2．用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 (注：X^2是X的平方）
　　解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
　　将二次项系数化为1：x2-x=
　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
　　配方：(x-)2=
　　直接开平方得：x-=±
　　∴x=
　　∴原方程的解为x1=,x2= .
　　3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
　　例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
　　解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
　　∴a=2, b=-8, c=5
　　b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
　　∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)
　　∴原方程的解为x1=,x2= .
　　4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
　　例4．用因式分解法解下列方程：
　　(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
　　(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
　　(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
　　x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
　　(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
　　∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
　　(2)解：2x2+3x=0
　　x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
　　∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
　　∴x1=0，x2=-是原方程的解。
　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
　　(3)解：6x2+5x-50=0
　　(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
　　∴2x-5=0或3x+10=0
　　∴x1=, x2=- 是原方程的解。
　　(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
　　(x-2)(x-2 )=0
　　∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
　　小结：
　　一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
　　直接开平方法是最基本的方法。
　　公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。
　　配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
　　解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
　　例5．用适当的方法解下列方程。(选学）
　　（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
　　（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
　　分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。
　　（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。
　　（3）化成一般形式后利用公式法解。
　　（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
　　（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0
　　[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
　　(5x-5)(-x+13)=0
　　5x-5=0或-x+13=0
　　∴x1=1,x2=13
　　（2）解： x2+(2- )x+ -3=0
　　[x-(-3)](x-1)=0
　　x-(-3)=0或x-1=0
　　∴x1=-3，x2=1
　　（3）解：x2-2 x=-
　　x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
　　△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
　　∴x=
　　∴x1=,x2=
　　（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
　　4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
　　[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
　　2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
　　∴x1= ,x2=
　　例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学）
　　分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方法）
　　解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
　　即 (5x-5)(2x-3)=0
　　∴5(x-1)(2x-3)=0
　　(x-1)(2x-3)=0
　　∴x-1=0或2x-3=0
　　∴x1=1,x2=是原方程的解。
　　例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
　　解：x2+px+q=0可变形为
　　x2+px=-q (常数项移到方程右边)
　　x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
　　(x+)2= (配方)
　　当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）
　　∴x=- ±=
　　∴x1= ,x2=
　　当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。
　　说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求，必要时进行分类讨论。
　　练习：
　　（一）用适当的方法解下列方程：
　　1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
　　3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
　　5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
　　（二）解下列关于x的方程
　　1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
　　练习参考答案：
　　（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
　　3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
　　6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式）
　　[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
　　即 (2x+9)(2x+2)=0
　　∴2x+9=0或2x+2=0
　　∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
　　（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0
　　[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
　　∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
　　∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是
　　原方程的解。 原方程的解。