Question

已知△ABC中，AD为中线，∠BAD=60°，AB=10,BC=4倍的根号3，求AC的长

Answer 1

解：分别过B、C作BF⊥AD于F，CE⊥AD于E，
在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=10，
sin∠BAF=BFAB，
∴BF=ABsin∠BAF=53．
cos∠BAF=AFAB，
∴AF=ABcos∠BAF=5．
BC=419，AD为中线，
∴BD=DC=219．
在Rt△BFD中，DF=BD2-BF2=(217)2-(53)2=1，
∵D为BC中点，∴BD=CD，
又CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ADC=∠BDF．
∴△BDF≌△CDE（AAS）．
∴DE=DF=1．
∴AE=5-2=3，CE=BF=53．
在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2=32+(53)2=221，
又若△ABC'时，AE'=5+2=7，C'E'=53，
在Rt△AE'C'中，A'C'=AE′2+C′E′2=231，
∴AC的长为231或221．

Answer 2

延长AD至E使得AD=DE，连结BE 因为AD=DE, BD=DC, ∠ADC=∠BDE 所以⊿ACD全等于⊿EBD 所以AC=BE=2√3 根据正弦定理，在⊿ACB中 Sin∠BAE：BE=sin∠E：AB 又∠BAE=30°，BE=2√3，AB=4√3 所以sin∠E=1，即∠E=90° AE=√（AB^2-BE^2）=6 即AD=DE=3 BD=√（ED^2+BE^2）=√21 所以BC=2√21