Question

帮帮忙，两道数学题

Answer 1

7、如图

已知AD是∠BAC的平分线

所以，∠1=∠2

已知ME//AD

所以，∠1=∠E，∠2=∠3

所以，∠E=∠3

所以，AE=AF

已知CF/AE=4

所以，CF/AF=4

因为MF//AD

所以，CM/MD=CF/AF=4

设DM=a

则CM=4a

已知M为BC中点

所以，BM=CM=4a

那么，BD=4a-a=3a

且，CD=a+4a=5a

已知AD为角平分线

所以，AB/AC=BD/CD=(3a)/(5a)=3/5

8、如图

已知∠ACB=90°，AC=BC

所以，∠ABC=45°

已知∠DCE=45°，CD⊥AE

所以，∠AEC=45°

所以，∠ABC=∠AEC

所以，A、C、B、E四点共圆

因为∠ACB=90°

所以，AB就是它们外接圆的直径

所以，∠AEB=90°，∠BEC=∠BAC=45°

过点B作CE的垂线，垂足为F

那么，△BEF为等腰直角三角形

设AD=x

已知CD=6

所以，DE=CD=6，CE=6√2

所以，S△ACD=(1/2)AD*CD=(1/2)*x*6=3x

S△BCE=(1/2)*CE*BF=(1/2)*6√2*BF=3√2*BF

所以，3√2BF=2*3x=6x

所以，BF=√2x

那么，BE=2x

由勾股定理得到：AC^2=AD^2+CD^2=x^2+36

所以，AB^2=AC^2+BC^2=2AC^2=2x^2+72

那么，在Rt△ABE中由勾股定理有：AB^2=AE^2+BE^2

===> 2x^2+72=(x+6)^2+(2x)^2

===> 2x^2+72=x^2+12x+36+4x^2

===> 3x^2+12x-36=0

===> x^2+4x-12=0

===> (x+6)(x-2)=0

===> x=-6（舍去）；x=2

所以，AE=AD+DE=2+6=8

追问

8题我们还没有学到勾股定理与四点共圆，有其他方法么？谢谢您

如何证明∠CEF=∠CEB呢？

怎样证出S△ACD=AD*CD/2=3*AD
S△BCE=BE*DE/2=3*DE的呢？

Answer 2

7. 证：
∵ME//AD，FC=4AF（请确认是AF还是AE；如果是AE，请追问，我再想证明方法）
——这里少了一步证明：AF=AE，请参考 muyuzaisikao 的证明，我没考虑周全；
∴AF：FC=DM：MC=1：4

∵M为BC中点
∴BM=MC
∴BD：DC=（BM-DM）：（MC+DM）=3：5
∵AD平分∠BAC
∴AB：AC=BD：DC=3：5
8.解：
在DE上截取DF=AD
可证 △ACD≌△FCD（两边夹角）
从而有：CA=CF，∠ACD=∠FCD
又， △CAB、△DCE均为等腰Rt△，
故：CA=CB、CD=DE
∠ACD=∠FCD，∠DCE=45°，∠ACB=90°

可推出：∠BCE=∠FCE=45°-∠ACD
根据角关系，还可推得：
∠CED=∠CEB=45°（推导从略）
从而：△ACD≌△FCD（两角夹边CE）
故：CF=CB，FE=BE
∠BEA=∠CED+∠CEB=90 °，CD=DE=6
S△ACD=AD*CD/2=3*AD
S△BCE=BE*DE/2=3*DE
S△BCE=2*S△ACD
从而有：BE=2*AE
6=CD=DE=DF+FE=AD+BE=3*AD
故：AD=2，BE=4，AE=AD+DE=8。
解答完毕。

追问

如图，在三角形ABC中，AB=AC,点D在BC上的延长线上，且BC=CD,CE⊥BD交AD于E,连接BE交AC于F,求证:AF=CF

你是如何推出∠BCE=∠FCE的呢？

S△ACD=AD*CD/2=3*AD
S△BCE=BE*DE/2=3*DE的呢？

太给力了，你的回答完美解决了我的问题！

追答

如何推出∠BCE=∠FCE的呢？

∵∠ACD+∠FCD+∠FCE+∠BCE=90°，∠FCD+∠FCE=∠DCE=45°

∴∠ACD+∠BCE=90°-（∠FCD+∠FCE）=90°-45°=45°
即：∠ACD+∠BCE=∠FCD+∠FCE（=45°）
又∵∠ACD=∠FCD
∴∠BCE=∠FCE（=45°-∠ACD=45°-∠FCD）

S△BCE=BE*DE/2=3*DE

∠BEA=90°，即：BE⊥AE

过C做CH⊥BE，交EB延长线于H，
CDEH构成一个矩形（实际上是正方形），
因此：CH=DE=CD=6
△BCE的面积=底(BE)×高(CH)÷2=BE×DE÷2=3*BE——上面证明中写成了“3*DE”是手误，
正确的是：3*BE

还有：BE=2*AE——这个也是手误，正确的应该是：BE=2*AD。

惭愧，打字太不认真了。

追问

谢谢您是

Answer 3

题7: 因为AD平分角BAC，所以∠BAD=∠CAD
因为AD∥ME，所以∠BAD=∠E，∠CAD=∠EFA，所以∠E=∠EFA
所以，AE=AF，所以CF= 4 FA
根据△CFM相似于△CAD，所以CM:MD=CF:FA 所以CM=4MC
又M为BC中点，BM=CM=4MD,所以BD=3MD
△DBA相似于△MBE，所以BA:AE=BD:DM，所以AB=3AE
所以AB:AC=3AE:5AE=3：5

追问

如图，在三角形ABC中，AB=AC,点D在BC上的延长线上，且BC=CD,CE⊥BD交AD于E,连接BE交AC于F,求证:AF=CF

Answer 4

• AB=3/5AC

• 因为AD为∠BAC的角平分线

• 所以∠BAD=∠DAC

• 因为ME∥AD

• 所以∠BAD=∠BEM,∠DAC=∠MFC

• 因为∠MFC=∠AFE

• 所以∠BEM=∠AFE即∠AEF=∠AFE

• 所以三角形AEF是等腰三角形

• 所以AF=AE即FC=4AF

• 所以AC=5AF=5AE

因为ME∥AD

所以三角形CMF∽三角形CAD,三角形BAD∽三角形BEM

因为AC=5AF

所以CD=5MD,CM=4MD

因为BM=CM

所以BD=3MD

因为三角形BAD∽三角形BEM

所以BA/AE=BD/DM=3

所以BA=3BE即AB=3BE

因为AC=5AE

所以

AB=3/5AC

Answer 5

• 7.假设AE=1cm，CF=4cm.

• 因为AD与EM平行，所以角BAD=角E，角DAC=角CFM，而角BAD=角DAC，所以角E=角CFM，即角AFE=角E，所以AE=AF. 又因为CF=4AE,所以CF=4AF，所以CF：CA=4：5.

  因为AD与EM平行，所以CM:CD=CF:CA=4：5，即CM:DM=4：1，而BM=CM,所以BM:DM=4：1，也就是BD:DM=3：1，而BA:AE=BD:DM,所以BA:AE=3：1，而假设AE=1cm,所以AB=3cm,所以AB:AC=3：4.