Question

已知三角形三个顶点分别为A(0,1,2)B(-1,2,2)C(1,-1,4),求此三角形面积

Answer 1

可以使用向量法求解此三角形面积。
首先求出向量AB和向量AC:

向量AB = B - A = (-1, 2, 2) - (0, 1, 2) = (-1, 1, 0)

向量AC = C - A = (1, -1, 4) - (0, 1, 2) = (1, -2, 2)

然后求出向量AB和向量AC的叉积，即三角形的面积的两倍:

向量AB × 向量AC = (-1, 1, 0) × (1, -2, 2) = (-2, -2, -1)

因此，三角形的面积为：

|向量AB × 向量AC| / 2 = √(2² + 2² + 1²) / 2 = √9 / 2 = 3/2

所以，此三角形的面积为3/2。

Answer 2

AB²=1+1+0=2，AB=√2，

BC²=4+9+4=17，BC=√17，

CA²=1+4+4=9，CA=√9=3，

根据海伦公式可算得面积为S=1.5，

答：三角形的面积是1.5。

Answer 3

向量AB=(-1,10),AC=(1,-2,2),
AB×AC=3阶行列式
i j k
-1 1 0
1 -2 2
=(2,2,1),
S△ABC的面积
=(1/2)|AB×AC|
=(1/2)√(2^2+2^2+1)
=3/2.