Question

已知函数f（x）=x平方/1+x平方。

1.求f（2）与f（1/2），f（3）与f（1/3)。 2.由（1）中求得的结果，你能发现f（x)与f（1/x）的关系吗？并证明你的发现。 3.求f（1）+f（2）+.....+f（2012）+f（1/2）+f（1/3）+......+f(1/2012)

Answer 1

f(2)=4/5
f(1/2)=(1/4)/(5/4)=1/5
f(3)=9/10
f(1/3)=(1/9)/(10/9)=1/10

f(x)+f(1/x)=x²/(1+x²) +(1/x)²/(1 +1/x²) =x²/(1+x²) +1/(x²+1) =(x²+1)/(x²+1)=1

所以 f(1)+f(2)+...+f(2012)+f(1/2)+f(1/3)+...+f(1/2012)
=f(1)+[f(2)+f(1/2)]+[f(3)+f(1/3)]+...+[f(2012)+f(1/2012)]
=f(1)+1+1+1+...+1
=1/2 +2011
=4023/2