Question

已知如图所示D是等腰直角三角形ABC的斜边BC的中点,P是BC上的另外一点,BE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别是E,F,试说

已知如图所示D是等腰直角三角形ABC的斜边BC的中点,P是BC上的另外一点,BE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别是E,F,试说明EF^2

=2DE^2

Answer 1

很简单，就是转化为证明三角形EDF也是等腰直角三角形的问题，用勾股定理得到答案。（题目按理说应该给出的是PE垂直于AB,不是你给的条件）
首先，证明三角形AED与三角形CFD是全等的两个三角形！！！容易得到角EAD=角FCD=45度（等腰直角三角形的角的特征），再根据等腰直角三角形中线等于斜边的一般，得到AD=DC，同时因为三角形FPC也是等腰直角三角形，得到FC=FP，而在矩形AEFP中，FP=AE.根据传递性，得到FC=AE,综上所述，根据边角边定理，就可以得到三角形AED与三角形CFD是全等的两个三角形。我们就完成了第一步，证明得到了DE=DF的结论。
再者，证明角EDF是直角！！！，因为三角形AED与三角形CFD是全等的两个三角形，所以角FDC=角EDA。因为角FDC+角ADF=直角90度（直角三角形adc中得到），所以角EDA+角ADF=角EDF=直角=90度，所以三角形EDF是等腰直角三角形！！！
最后，在等腰直角三角形EDF中，EF^2=DE^2+DF^2(勾股定理)，且DE=DF,所以得到要证明的结论EF^2=2DE^2

追问

能只说步骤不说那么多么？说得好就再追加，前提是一定要是正确的

追答

证明：1、根据等腰直角三角形中线等于斜边的一半，所以AD=DC，
等腰直角三角形FPC中有FC=FP，在矩形AEFP中有FP=AE，所以FC=AE，
再加上角EAD=角FCD=45度，
根据上述三个条件，得三角形AED与三角形CFD全等；
2、因为已证明三角形AED与三角形CFD全等，所以角FDC=角EDA
在直角三角形adc中有角FDC+角ADF=直角90度，
根据以上两个条件的到角EDA+角ADF=角EDF=直角=90度
3、在等腰直角三角形EDF中有 EF^2=DE^2+DF^2(勾股定理)，且DE=DF，
所以EF^2=2DE^2
题目得证!!!
这就是答题标准的证明过程，你把上面的抄到卷子上就可以了！！！