Question

设函数fx=的定义域为R,对任意函数x,y都有f(x+y)=fx+fy,又当x>0时,fx=<0,

设函数fx=的定义域为R,对任意函数x,y都有f(x+y)=fx+fy,又当x>0时,fx=<0,且f(2)=-1，
试求函数fx在区间（-6,6）最大值与最小值？（-6和6可以取到）

Answer 1

对任意函数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)

取x=y=0

得f(0+0)=f(0）+f(0）
所以f(0)=0

设x1<x2,那么x2-x1>0
所以f(x2)= f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
因为当x>0时,f（x）<0

所以f(x2-x1)<0
因此f(x2)-f(x1)<0,f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)是减函数
那么在区间[-6,6]上，
f(x)max=f(-6) ,f(x)min=f(6)

∵ f(2)=-1，
∴f(6)=f(2)+f(4)=f(2)+f(2)+f(2)=-3
f(0)=f(-6+6)=f(-6)+f(6)=0
f(-6)=-f(6)=3
∴f(x)max=f(-6)=3
,f(x)min=f(6)=-3