Question

线性方程组的求解步骤是什么？

Answer 1

系数矩阵行列式为零，那么系数矩阵行列式秩就小于阶数，那么系数矩阵行列式的行就线性相关。

因此存在 c1，c2，...，cN，不全为零，使得

c1p1+c2p2+...+cNpN=0，其中pi是矩阵行向量

即 Ax=0，x=(c1,c2,...,cN)' 为非零向量，也是方程组的解。

常数项全为0的n元线性方程组

称为n元齐次线性方程组。设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：

（1）当r=n时，原方程组仅有零解；

（2）当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。

扩展资料：

齐次线性方程组的性质

1、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2、齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。

4、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n，方程组有无数多解。

5、n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。（克莱姆法则）

齐次线性方程组求解步骤

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵。

2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束。

若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤。

3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组。

4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。

参考资料来源：百度百科——齐次线性方程组

Answer 2

求解 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的步骤 ：
将系数矩阵 A 化为行最简型矩阵， 求出系数矩阵的秩 r(A) ，分两种情况讨论：
r(A) = n 时， 齐次线性方程组 Ax=0 有唯一解，即零解 。
r(A) < n 时， 有无穷多组解，即有非零解， 此时， 先求出 Ax=0 的基础解系，
其线性和即为 Ax = 0 的通解。
求解 n 元非齐次线性方程组 Ax=b 的步骤 ：
将增广矩阵化为行最简型矩阵， 求出增广矩阵的秩 r(A,b) ， 系数矩阵的秩 r(A)，
分三种情况讨论：
r(A,b) ≠ r(A) 时， 非齐次线性方程组 Ax=b 无解。
r(A,b) = r(A) = n 时， 非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解 。
r(A,b) = r(A) < n 时， 有无穷多组解， 此时， 先求出 Ax=b 的一组特解，
再求出 Ax = 0 的通解， 其和即为 Ax = b 的通解。