Question

等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且|BD|=1／3|BC，|CE|=1／3|CA

等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且|BD|=1／3|BC，|CE|=1／3|CA|，AD、BE相交于点P，求证AP⊥CP（用两种不同的方法做）

Answer 1

连结ED，且作EF//AB交BC于点F，易证：△ABD≌△BCE（SAS），∴∠ BAD=∠CBE，得： ∠ APE=∠C=60°， ∴C、D、P、E四点共圆，
∴∠CPD= ∠CED ， ∵ FC=FD=FE，∴∠ CED=∠CPD=90 °，即：AP垂直CP

取坐标系，B（0,0）,C（6,0）.
则A（3,3√3）,D（2,0）,E（5,√3）.
BE方程：y＝（√3/5）x,AD方程：y＝3√3x-6√3.解得P（15/7,3√3/7）
CP斜率＝（3√3/7）/[（15/7）-6]＝-1/（3√3）
AP斜率＝AD斜率＝3√3.AP斜率×CP斜率＝-1. ∴AP⊥CP

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