Question

如何证明根号2不是有理数。

Answer 1

根据有理数的性质，就是任何有理数都是可以分数化，即可以用a/b表示，但是无理数则没有这性质，所以可以假设根号2是有理数，那么肯定可以用a/b表示，假设a/b是最简分数，即a和b没有公约数了。那么a/b=根号2，等式两边平方，得到a^2/b^2=2，这明显是与题设矛盾的，因为本来是最简分数，平方之后又出现了约数了，所以题目假设不成立，所以根号2是一个无理数。但是这个里面存在一个隐含条件，就是假如a/b不是最简分数，a必须是个偶数，同时b也是偶数，那么我们就可以将两数相约，得到最简分数。那么就成为了上面的形式了。

Answer 2

这个问题我上周刚讲完
因为1²=1,2²=4，所以1<2<4, 则1<根号2<2, 因此根号2不是整数；
又因为分数的平方是分数，因此根号2也不是分数。
所以根号2一定不是有理数。
只要否定他不是分数、整数即可说明他不是有理数
祝你学习进步！

Answer 3

假设√2是有理数，则必有√2=p/q（p、q为互质的正整数）

两边平方：2=p^2/q^2
p^2=2q^2
显然p为偶数，设p=2k（k为正整数）
有：4k^2=2q^2，q^2=2k^2
显然，q也是偶数，p、q均为偶数即2的倍数，与p、q互质矛盾。

∴假设不成立，√2是无理数。