帮忙举几个极限思想的应用例子!急求!!
推荐于2017-11-26
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极限思想应用五例唐永 利用极限思想处理某些数学问题往往能化难为易。 引例 两人坐在方桌旁,相继轮流往桌面上平放一枚同样大小的硬币。当最后桌面上只剩下一个位置时,谁放下最后一枚,谁就算胜了。设两人都是高手,是先放者胜还是后放者胜?(G·波利亚称“由来已久的难题”) G·波利亚的精巧解法是“一猜二证”: 猜想(把问题极端化) 如果桌面小到只能放下一枚硬币,那么先放者必胜。 证明(利用对称性) 由于方桌有对称中心,先放者可将第一枚硬币占据桌面中心,以后每次都将硬币放在对方所放硬币关于桌面中心对称的位置,先放者必胜。 从波利亚的精巧解法中,我们可以看到,他是利用极限的思想考察问题的极端状态,探索出解题方向或转化途径。极限思想是一种重要的数学思想,灵活地借助极限思想,可以避免复杂运算,探索解题新思路,现举五例说明极限思想的应用。 例1 已知0<x<y<a<1,则有( ) (A) (B) (C) (D) (02年高考)分析 当 时,由题意 ,此时 ,故可排除(A)、(B),当 时,由题意 ,此时 ,则 ,排除(C),故选(D) 例2 给出下列图象 其中可能为函数 的图象是 。分析 这道模拟试题得分率很低,许多学生做这道题时感到无从下手,通过与部分学生访谈知道,大部分学生都是猜想结果,虽然有一些学生想到求函数的导数 ,但仍然不知如何处理。其实,这道题若从极限角度考虑,问题便迎刃而解。当 时, 时图象是上升的,排除④,再令a=b=c=0,y’>0不是恒成立的,排除②,选①③。 例3 已知数列{a<sub>n</sub>}中,a1=1,且对于任意正整数n,总有 ,是否存在实数a,b,能使得 对于任意正整数n恒成立?若存在,给出证明;若不存在,说明理由。 分析 极限思想: 如果这样的 ,b存在的话,则 由 , 对 两边取极限,得 , 解得 若 0,则数列{ }应该是以1为首项,以 为公比的等比数列。 可知 , 显然, ,不合题意舍去; 若 ,将 代入 ,可求得b=-3, 此时 , 同样验证 亦可得出矛盾。因此,满足题意的实数 ,b不存在。 例4 正三棱锥相邻两侧面所成的角为 ,则 的取值范围是( ) 分析 如图1所示,正三棱锥S-ABC中, 是过底面正三角形ABC中心且垂直于底面的垂线段。当 时,相邻两个侧面的夹角趋近于 ,当 时,正三棱锥无限接近一个正三棱柱,显然相邻两个侧面的夹角无限接近 ,故正三棱锥相邻两个侧面所成角的取值范围为( ),故选(D)。 例5 已知长方形的四个顶点A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)和D(0,1),一个质点从AB的中点P0沿与AB夹角为 的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角),设点P4的坐标为(x4,0),若1<x4<2,则 的取值范围是( ) 分析 如图2,显然当P1为BC中点时,则P2、P3和P4依次是CD、DA和AB的中点,故 是一个极限值,选(C)。
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极限思想应用五例
唐永
利用极限思想处理某些数学问题往往能化难为易。
引例
两人坐在方桌旁,相继轮流往桌面上平放一枚同样大小的硬币。当最后桌面上只剩下一个位置时,谁放下最后一枚,谁就算胜了。设两人都是高手,是先放者胜还是后放者胜?(G·波利亚称“由来已久的难题”)
G·波利亚的精巧解法是“一猜二证”:
猜想(把问题极端化)
如果桌面小到只能放下一枚硬币,那么先放者必胜。
证明(利用对称性)
由于方桌有对称中心,先放者可将第一枚硬币占据桌面中心,以后每次都将硬币放在对方所放硬币关于桌面中心对称的位置,先放者必胜。
从波利亚的精巧解法中,我们可以看到,他是利用极限的思想考察问题的极端状态,探索出解题方向或转化途径。
极限思想是一种重要的数学思想,灵活地借助极限思想,可以避免复杂运算,探索解题新思路,现举五例说明极限思想的应用。
例1
已知0<x<y<a<1,则有(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
(02年高考)
分析
当
时,由题意
,此时
,故可排除(A)、(B),当
时,由题意
,此时
,则
,排除(C),故选(D)
例2
给出下列图象
其中可能为函数
的图象是
。
分析
这道模拟试题得分率很低,许多学生做这道题时感到无从下手,通过与部分学生访谈知道,大部分学生都是猜想结果,虽然有一些学生想到求函数的导数
,但仍然不知如何处理。其实,这道题若从极限角度考虑,问题便迎刃而解。当
时,
时图象是上升的,排除④,再令a=b=c=0,y’>0不是恒成立的,排除②,选①③。
例3
已知数列{a
n
}中,a
1
=1,且对于任意正整数n,总有
,是否存在实数a,b,能使得
对于任意正整数n恒成立?若存在,给出证明;若不存在,说明理由。
分析
极限思想:
如果这样的
,b存在的话,则
由
,
对
两边取极限,得
,
解得
若
0,则数列{
}应该是以1为首项,以
为公比的等比数列。
可知
,
显然,
,不合题意舍去;
若
,将
代入
,可求得b=-3,
此时
,
同样验证
亦可得出矛盾。
因此,满足题意的实数
,b不存在。
例4
正三棱锥相邻两侧面所成的角为
,则
的取值范围是(
)
分析
如图1所示,正三棱锥S-ABC中,
是过底面正三角形ABC中心且垂直于底面的垂线段。当
时,相邻两个侧面的夹角趋近于
,当
时,正三棱锥无限接近一个正三棱柱,显然相邻两个侧面的夹角无限接近
,故正三棱锥相邻两个侧面所成角的取值范围为(
),故选(D)。
例5
已知长方形的四个顶点A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)和D(0,1),一个质点从AB的中点P
0
沿与AB夹角为
的方向射到BC上的点P
1
后,依次反射到CD、DA和AB上的点P
2
、P
3
和P
4
(入射角等于反射角),设点P
4
的坐标为(x
4
,0),若1<x
4
<2,则
的取值范围是(
)
分析
如图2,显然当P
1
为BC中点时,则P
2
、P
3
和P
4
依次是CD、DA和AB的中点,故
是一个极限值,选(C)。
唐永
利用极限思想处理某些数学问题往往能化难为易。
引例
两人坐在方桌旁,相继轮流往桌面上平放一枚同样大小的硬币。当最后桌面上只剩下一个位置时,谁放下最后一枚,谁就算胜了。设两人都是高手,是先放者胜还是后放者胜?(G·波利亚称“由来已久的难题”)
G·波利亚的精巧解法是“一猜二证”:
猜想(把问题极端化)
如果桌面小到只能放下一枚硬币,那么先放者必胜。
证明(利用对称性)
由于方桌有对称中心,先放者可将第一枚硬币占据桌面中心,以后每次都将硬币放在对方所放硬币关于桌面中心对称的位置,先放者必胜。
从波利亚的精巧解法中,我们可以看到,他是利用极限的思想考察问题的极端状态,探索出解题方向或转化途径。
极限思想是一种重要的数学思想,灵活地借助极限思想,可以避免复杂运算,探索解题新思路,现举五例说明极限思想的应用。
例1
已知0<x<y<a<1,则有(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
(02年高考)
分析
当
时,由题意
,此时
,故可排除(A)、(B),当
时,由题意
,此时
,则
,排除(C),故选(D)
例2
给出下列图象
其中可能为函数
的图象是
。
分析
这道模拟试题得分率很低,许多学生做这道题时感到无从下手,通过与部分学生访谈知道,大部分学生都是猜想结果,虽然有一些学生想到求函数的导数
,但仍然不知如何处理。其实,这道题若从极限角度考虑,问题便迎刃而解。当
时,
时图象是上升的,排除④,再令a=b=c=0,y’>0不是恒成立的,排除②,选①③。
例3
已知数列{a
n
}中,a
1
=1,且对于任意正整数n,总有
,是否存在实数a,b,能使得
对于任意正整数n恒成立?若存在,给出证明;若不存在,说明理由。
分析
极限思想:
如果这样的
,b存在的话,则
由
,
对
两边取极限,得
,
解得
若
0,则数列{
}应该是以1为首项,以
为公比的等比数列。
可知
,
显然,
,不合题意舍去;
若
,将
代入
,可求得b=-3,
此时
,
同样验证
亦可得出矛盾。
因此,满足题意的实数
,b不存在。
例4
正三棱锥相邻两侧面所成的角为
,则
的取值范围是(
)
分析
如图1所示,正三棱锥S-ABC中,
是过底面正三角形ABC中心且垂直于底面的垂线段。当
时,相邻两个侧面的夹角趋近于
,当
时,正三棱锥无限接近一个正三棱柱,显然相邻两个侧面的夹角无限接近
,故正三棱锥相邻两个侧面所成角的取值范围为(
),故选(D)。
例5
已知长方形的四个顶点A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)和D(0,1),一个质点从AB的中点P
0
沿与AB夹角为
的方向射到BC上的点P
1
后,依次反射到CD、DA和AB上的点P
2
、P
3
和P
4
(入射角等于反射角),设点P
4
的坐标为(x
4
,0),若1<x
4
<2,则
的取值范围是(
)
分析
如图2,显然当P
1
为BC中点时,则P
2
、P
3
和P
4
依次是CD、DA和AB的中点,故
是一个极限值,选(C)。
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1=0.99循环
因为0.33循环等于三分之一,三分之一乘以3等于1,0.33循环乘以3等于0.99循环,所以0.99循环等于1
*٩(๑´∀`๑)ง*
y( ˙ᴗ. )耶~
因为0.33循环等于三分之一,三分之一乘以3等于1,0.33循环乘以3等于0.99循环,所以0.99循环等于1
*٩(๑´∀`๑)ง*
y( ˙ᴗ. )耶~
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2013-09-18
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把你跟宇宙相比你就没了!把一滴水与大海相比
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