Question

如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交

如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB.AC边于M.N两点，连结MN。
探究：BM.MN.NC之间的关系，并加以证明。

Answer 1

证明：BM+CN=NM延长AC至E，使CE=BM，连接DE，
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，

∴∠BCD=30°，

∴∠ABD=∠ACD=90°，
∵DB=DC，CE=BM，
∴△DCE≌△BMD，
∴∠BDM=∠CDE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∵∠MDN=∠NDE=60°
∴DM=DE（上面已经全等）
∴DN=ND（公共边）
∴△DMN≌△DEN∴BM+CN=NM．