十种求初等函数值域的方法【摘要】本文给出了观察法、分离常数法、配方法、判别式法、基本不等式法、换元法、反函数法、函数单调性法、导数法等十种求函数值域的方法. 【关键词】初等函数；值域函数的值域是函数的三要素之一, 掌握好求函数值域的方法, 对理解函数的概念意义重大, 而函数概念是贯穿于整个高中课程的, 因此, 掌握求函数值域的方法对整个高中数学课程而言, 具有至关重要的意义. 而整个高中课程所讨论的函数几乎全部是初等函数, 所以本文试图对常见的求初等函数值域的方法作一简要总结. 一观察法观察法是最简单的求函数值域的方法, 此法适用于那些形式比较简单的函数, 例如对于函数 , 显然其值域为 . 此法虽然简单, 而且对于形式稍显复杂的函数, 此法常难奏效, 但是此法却是求函数值域最基本的方法, 对于其他形式稍繁的函数, 也是通过施加变换, 最终化成形式简单的函数, 从而应用此法求得. 二分离常数法此法常适用于那些分式形式且分子与分母同为一次多项式的函数, 或能够化成上述形式的函数, 即形如形式的函数. 解决的办法是通过添项或减项, 在分子中分解出与分母相同的式子, 约分后应用观察法即可得函数的值域. 例如对于函数 , 利用恒等变形, 得到: , 容易观察得出此函数的值域为 . 三配方法对于二次函数, 可利用配方法求解其值域, 对于与二次函数复合而成的函数, 可尝试对二次函数进行配方, 进而利用与其复合的函数的性质求其值域. 例1 求函数的值域. 解答: 此题可以看作是和两个函数复合而成的函数, 对配方可得: , 得到函数的最大值 , 再根据得到为增函数且 , 故函数的值域为: . 四判别式法此法适用于二次分式形式的函数, 尤其适用于分母为二次多项式的函数, 解决的办法是先将函数化成方程, 即隐函数的形式, 再利用一元二次方程的理论求解问题. 例2 求函数的值域. 解答: 先将此函数化成隐函数的形式得: , (1)这是一个关于的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程(1)的判别式,解得: . 故原函数的值域为: . 五基本不等式法利用基本不等式和是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取成立的条件. 例3 求函数的值域. 解答: , 当且仅当时成立. 故函数的值域为 . 此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程. 例4 求函数的值域. 解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设: , (2)将上面等式的左边展开, 有: ,故而 , . 解得 , .从而原函数 ; ⅰ)当时, , , 此时 , 等号成立, 当且仅当 . ⅱ)当时, , , 此时有, 等号成立, 当且仅当 . 综上, 原函数的值域为: . 六换元法利用换元改变了原函数表达式的”面貌”, 使原来性质不明显的函数变得清晰, 从而易于求得原函数的值域. 运用换元法时应注意所引进的参数变量的取值范围. 例5 求函数的值域. 分析: 若设 , 则 (其中 ). 原函数变为. 由于 , 故 . 七反函数法对于存在反函数且易于求得其反函数的函数, 可以利用”原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质, 先求出其反函数, 进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域. 例 6 求函数的值域. 解答: 对于此题来说,我们尝试用反函数方法求解此题. 先证明有反函数, 为此, 设且 , .所以为减函数, 存在反函数. 可以求得其反函数为: . 此函数的定义域为 , 故原函数的值域为 . 其实, 此题也可以用分离常数法来解, 这里就不再冗述了. 八图像法对于一些能够准确画出函数图像的函数来说, 可以先画出其函数图像, 然后利用函数图像求其值域.例 7 求函数的值域.分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.在对应的区间内, 画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为 . 九利用函数的单调性当函数在上单调, 譬如在上递增时, 自然有函数在上的值域为 (其中 ,当时, 也称其存在,记为 ); 若在上递减, 函数在上的值域为 . 在闭区间上也有相应的结论.例 8 求函数的值域.分析: 此题可以看作和 , 的复合函数, 显然函数为单调递增函数, 易验证亦是单调递增函数, 故函数也是单调递增函数. 而此函数的定义域为 .当时, 取得最小值 .当时, 取得最大值 . 故而原函数的值域为 . 十利用导数求函数的值域若函数在内可导, 可以利用导数求得在内的极值, 然后再计算在 , 点的极限值. 从而求得的值域.例 9 求函数在内的值域.分析:显然在可导，且 . 由得的极值点为 . . . 所以, 函数的值域为 . 很多数学符号不能显示