Question

已知数列｛an｝

已知数列｛an｝满足a1=4/3,且an+1=〔4(n+1)an〕/(3an+n)(n∈N*).
(1)求1/a1+2/a2+…+n/an的值；
（2）求证：a1+a2/2+a3/3+…+an/n≤n+7/12-1/4^n

Answer 1

（1）An+ι＝4（n+1）An/（3An＋n）
∴4（n+1）/An+ι＝n/An＋3
令Bn＝n/An，则4Bn+ι＝Bn＋3
4（Bn+ι－1）＝Bn－1
故数列｛Bn－1｝为等比数列
则Bn＝1＋（1/4）^（n-1）（Bι－1）
＝1－（1/4）^n
则1/A1＋2/A2＋3/A3＋···＋n/An
＝B1＋B2＋B3＋···＋Bn
＝n－1/3＋1/3（1/4）^n.
（2）证明：An＝n/Bn
＝n*4^n/（4^n－1）
An/n＝4^n/（4^n－1）
＝1－1/（4^n－1）
＜1－1/4^n（n≥2）
∴A1＋A2/2＋A3/3＋···＋An/n
≤4/3＋（n－1）－1/12＋1/3（1/4）^n
＝n＋1/4＋1/3〔1－（4^n－1）/4^n〕
≤n＋7/12－1/4^n
（注：（4^n－1）/3≥1）

追答

看得出来，学习不错，好好加油！

有问题可以继续，有时间会帮你解答的!

上面的证明有错误，在计算时有点小插曲。但思路是一样的！

Answer 2

其实这个题目的关键就在于，第二问的时候，对于分母要运用平方差公式，然后就可以，拆项求和。。。。喂，楼下的说的不对，这道题不是最难得那种。

希望楼主采纳！！！O(∩_∩)O谢谢

Answer 3

这道题太难了才五分，能提高点儿吗？