Question

一道高数二重积分的题目

题目如下：已知L1：x2+y2=1,L2:x2+y2=2,L3:x2+2y2=2,L4:2x2+y2=2,由L1,L2,L3,L4分别围成D1,D2,D3,D4，并
记Ii=，求max{I1 I2 I3 I4}.
其中Ii的表达式见下图，L1,L2,L3,L4表达式未知数前面的2都是系数，后面的2是平方。

求详细解答或者分析过程！！！谢谢！！！

Answer 1

给你个分析过程吧：
令z=1-x^2-y^2/2,
则当点A（x,y）位于曲线L4上时z=0；
点A（x,y）位于曲线L4之内时z>0;
点A（x,y）位于曲线L4之外时z<0.
因此当积分域为L4包含的平面时积分结果是最大的。

至于求I4
做变换w=y/根号2
d（sigma）=根号2*dxdw
故I4=根号2*积分（1-x^2-w^2）dxdw
积分域为x^2+w^2<=1
之后做变换x=rcosA,y=rsinA
I4=根号2*积分(1-r^2)rdrdA
积分域0<r<1,A为0到2π
故I4=π*根号2/2

Answer 2

先对被积函数变形：
I1中1-x²-y²/2=y²/2，
I2中1-x²-y²/2=(y²/2)-1，
I3中1-x²-y²/2=(3y²/2)-1，
I4中1-x²-y²/2=0，明显I4=0，
I1和I2的D是圆，可化为极坐标计算，
D3为椭圆，可直接计算，亦可化为三角函数后再转为极坐标(这种麻烦点)，

另外，积函数中的-1相当于直接减去D的面积。

祝愉快