Question

已知数列｛an｝满足a1=4/3， 且an+1=〔4(n+1)an〕/(3an+n) (n∈N*)

已知数列｛an｝满足a1=4/3，
且an+1=〔4(n+1)an〕/(3an+n)
(n∈N*).
（1）求1/a1+2/a2+…+n/an的值；
（2）求证：a1+a2/2+a3/3+…+an/n
≤ n+ 7/12-(1/4)^n

Answer 1

1，两边同时取倒数，得1/a(n+1)=3/[4(n+1)]+n/[4(n+1)an]，两边同乘以（n+1），得
（n+1）/a(n+1)=n/(4an)+3/4，所以（n+1）/a(n+1)-1=(1/4)[n/an-1]，设bn=(n/an)-1，所以
b(n+1)=(n+1)/a(n+1)-1，所以b(n+1)=（1/4）bn，所以bn是以1/4为公比的等比数列。
求得bn=-(1/4)^n，所以n/an=1-(1/4)^n。
2，放缩法，把an/n放缩成一个可求和的数列。

追问

继续后续证明

追答

1/[1-(1/4)^n]=1+1/(4^n-1)>1+(1/4)^n，不等号方向已变，无法证明下去，我怀疑原始数据有问题，无能为力，请见谅。

追问

你的等式有问题，中间是减号

追答

怎么可能是减号，n/an我没求错吧，如果求错，那没办法。真心求解。

追问

追答

受教了，佩服，真心感谢！！！！!