Question

关于二重积分和定积分的问题

为什么这个二重积分可变换成这个二重积分
我知道积分变量不影响定积分的取值，但不知道这题是怎么变得，把X替换成Y，但积分上下限呢，总不能也直接换吧。如果第一个积分不是0——Y，而是0——2Y呢，下面那个又怎么变？
上面的一个问题被图片挡住了，是为什么第一个二重积分课变换成第二个二重积分

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Answer 1

第一个积分变成第二个积分其实类似于定积分中的变量代换。

比如，在第一个积分中令x=u，y=v

积分就变成：

再令u=y，v=x

不就变成第二个积分了吗。

另外，你的第二个问题：

追问

f(x)f(y)dx中的y和积分上限中的y代表的是一个意义吗？
还有，如果积分范围改成0——2y，这个是x的变化范围，那要换过来的话不就相当于y应该是0——x/2吗？难道真的可以直接硬换？

追答

本题的过程就是应用变量代换，没有涉及到交换积分次序的

若要交换积分次序，就会变成：

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追问

有两个问题
一：像积分区间含参数并且参数和积分变量参数相同的，一般是有两种代换方法，一种是不交换积分次序，直接代换，因为积分变量不影响定积分值。还有一种一种是交换积分次序，像这道题。是这样吗？
二：我明白你的做法，但我不知道自己这样做为什么错，f(y)dy中y是0到1，把y换成x，积分变量不影响定积分，所以积分范围0到1，f(x)dx，而后面x在0到2y，x换成y，范围就是0到x/2，f(y)dy。

追答

一、是的，不过直接代换的方法适用面并不广泛，多用于涉及二重积分的证明问题；

二、上题中的D={（x，y）|0≤y≤1，0≤x≤2y}

很快可以得到：①0≤x≤2；②x≤2y，y≤1，所以x/2≤y≤1

遇到交换积分次序的题，一定要多画图，图形中就会告诉你各个积分变量的范围的。