Question

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.

设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析式.求详细步骤。谢谢！！

Answer 1

f【f(x)-x²+x】=f(x)-x²+x

令u=f(x)-x²+x

则f(u)=u，由于有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0

所以f(x)-x²+x=x0恒成立

即f(x)=x²-x+x0

又因为：有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0
所以方程f(x)-x=0有唯一实根
即x²-2x+x0=0有唯一实根。
△=4-4x0=0
所以x0=1

f(x)=x²-x+1

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追问

x²-2x+x0=0哪儿来的？

追答

方程f(x)-x=0 即为 x²-2x+x0=0

Answer 2

根据已知可得，f(x)-x^2+x=x0 对任意实数 x 都成立，
因此取 x=x0 得 f(x0)-x0^2+x0=x0 ，
因此 x0-x0^2=0 ，
解得 x0=0 或 x0=1 。
当 x0=0 时，f(x)=x^2-x ，此时 f(x)=x 即 x^2-x=x 的根不惟一（分别是 0 和 2），舍去；
当 x0=1 时，f(x)=x^2-x+1 ，此时 f(x)=x 即 x^2-x+1=x 有惟一实根 x0=1 ，满足条件，
所以 f(x)=x^2-x+1 。

追问

f(x)=x^2-x哪儿来的？