f(x)=x^2-4x一5,x∈[t,t+1],求值域。
首先函数的对称轴为:x=2。
当t+1<2时,f(X)在[t,t+1]上为减函数,故f(x)的值域为[f(t+1),f(t)],当t<2<t+1 即 1< t <2时,要考虑t和t+1离对称轴的远近,离对称轴远的取值大,再分两种情况:
当1< t <1.5时,f(x)的值域为[f(t+1),f(t)]。
当1.5<t<2时,f(x)的值域为[f(t),f(t+1)]。
常见函数值域:
y=kx+b (k≠0)的值域为R
y=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)
y=√x的值域为y≥0
当a<0时,值域为(-∞,4ac-b^2/4a]
y=a^x 的值域为 (0,+∞)
y=lgx的值域为R
首先函数的对称轴为:x=2。
当t+1<2时,f(X)在[t,t+1]上为减函数,故f(x)的值域为[f(t+1),f(t)],当t<2<t+1 即 1< t <2时,要考虑t和t+1离对称轴的远近,离对称轴远的取值大,再分两种情况:
当1< t <1.5时,f(x)的值域为[f(t+1),f(t)]。
当1.5<t<2时,f(x)的值域为[f(t),f(t+1)]。
常见函数值域:
y=kx+b (k≠0)的值域为R
y=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)
y=√x的值域为y≥0
当a<0时,值域为(-∞,4ac-b^2/4a]
y=a^x 的值域为 (0,+∞)
y=lgx的值域为R
关于误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中,实行“定义域优先”的原则,无可置疑。然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或淡化了,对值域问题的探究,造成了一手“硬”一手“软”,使学生对函数的掌握时好时坏。
事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄彼,何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数的定义域与值域的相互转化)。
如果函数的值域是无限集的话,那么求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。
才能获得正确答案,从这个角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明,如果加强了对值域求法的研究和讨论,有利于对定义域内函数的理解,从而深化对函数本质的认识。
f(x)在(-∞,2)上单减(2.+∞)上单增
①t+1<2即t<1时
f(x)max=f(t)=t²-4t-5
f(x)min=f(t+1)=t²-2t-8
②t+1=2即t=1时
f(x)max=f(1)=-8
f(x)min=f(2)=-9
③t=2时
f(x)max=f(t+1)=f(3)=-8
f(x)min=f(t)=f(2)=-9
④t>2时
f(x)max=f(t+1)=t²-2t-8
f(x)min=f(t)= t²-4t-5