Question

f(x)=x^2-4x一5，x∈[t，t+1]，求值域。

Answer 1

首先函数的对称轴为：x=2。

当t+1<2时，f（X）在[t,t+1]上为减函数，故f(x)的值域为[f(t+1),f(t)]，当t<2<t+1 即 1< t <2时，要考虑t和t+1离对称轴的远近，离对称轴远的取值大，再分两种情况：

当1< t <1.5时，f(x)的值域为[f(t+1),f(t)]。

当1.5<t<2时，f(x)的值域为[f(t),f(t+1)]。

常见函数值域：

y=kx+b （k≠0）的值域为R

y=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)

y=√x的值域为y≥0

当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a]

y=a^x 的值域为 (0,+∞)

y=lgx的值域为R

Answer 2

首先函数的对称轴为：x=2。

当t+1<2时，f（X）在[t,t+1]上为减函数，故f(x)的值域为[f(t+1),f(t)]，当t<2<t+1 即 1< t <2时，要考虑t和t+1离对称轴的远近，离对称轴远的取值大，再分两种情况：

当1< t <1.5时，f(x)的值域为[f(t+1),f(t)]。

当1.5<t<2时，f(x)的值域为[f(t),f(t+1)]。

常见函数值域：

y=kx+b （k≠0）的值域为R

y=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)

y=√x的值域为y≥0

当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a]

y=a^x 的值域为 (0,+∞)

y=lgx的值域为R

关于误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或淡化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏。

事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数的定义域与值域的相互转化）。

如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。

才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。

Answer 3

当t+1<2时，在两端处取值

当t>2时，两端点处

当t+1<3,t>1时顶点最小，再讨论两端点于对称轴的远近，远者的值为最大值

Answer 4

-b/2a=2
f（x）在（-∞，2）上单减（2.+∞）上单增
①t+1＜2即t＜1时
f（x）max=f（t）=t²-4t-5
f（x）min=f（t+1）=t²-2t-8
②t+1=2即t=1时
f（x）max=f（1）=-8
f（x）min=f（2）=-9
③t=2时
f（x）max=f（t+1）=f（3）=-8
f（x）min=f（t）=f（2）=-9
④t＞2时
f（x）max=f（t+1）=t²-2t-8
f（x）min=f（t）= t²-4t-5

Answer 5

f（x）=(x-2)^2-9,画出大概的草图。讨论当x=2时，f(x)取最小值-9，讨论t>2,f(x)范围[t^2-4t-5,t^2-2t-8];t+1<2,[t^2-2t-8,t^2-4t-5];1<t<2,讨论端点t和t+1的大小，极小值为-9