用夹逼定理求“1/2·3/4·5/6…·(2n-1)/2n”的极限
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根据(k+1)^2>k(k+2)==>k/(k+1)<(K+1)/(k+2) 推广有
1*3*……*(2n-1)/[2*4*……*2n]<2*4*……*2n/3*5*……*(2n+1)
代入下面的等式里,有
[(2n-1)!!/(2n)!!]^2={1*3*……*(2n-1)/[2*4*……*2n]}^2
=1*3*……*(2n-1)/[2*4*……*2n]*
1*3*……*(2n-1)/[2*4*……*2n]
<1*3*……*(2n-1)/[2*4*……*2n]*
2*4*……*2n/3*5*……*(2n+1)
=1/(2n+1).
所以,0<(2n-1)!!/(2n)!!<根号(1/(2n+1)) 趋于0,当n趋于∞。
得证!
1*3*……*(2n-1)/[2*4*……*2n]<2*4*……*2n/3*5*……*(2n+1)
代入下面的等式里,有
[(2n-1)!!/(2n)!!]^2={1*3*……*(2n-1)/[2*4*……*2n]}^2
=1*3*……*(2n-1)/[2*4*……*2n]*
1*3*……*(2n-1)/[2*4*……*2n]
<1*3*……*(2n-1)/[2*4*……*2n]*
2*4*……*2n/3*5*……*(2n+1)
=1/(2n+1).
所以,0<(2n-1)!!/(2n)!!<根号(1/(2n+1)) 趋于0,当n趋于∞。
得证!
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