Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn²-2Sn-anSn+1=0,n=1,2,3... 1.求s

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn²-2Sn-anSn+1=0,n=1,2,3...
1.求sn与s(n-1)(n≧2)的关系式，并证明｛1/(1/sn-1)｝是等差数列
2.求s1×s2×s3......s2010×s2011的值

Answer 1

S(n-1)表示前n-1项的和，与Sn-1不同；
S(n-1)*Sn表示两个和的乘积；
t(n-1)表示第n-1项t，k(n-1)同理
下面

删除原来所有递推符号"=>",加点连词让你看懂：

根据已知条件：
(Sn)^2-2Sn-An*Sn+1=0

两边同时加上(An)^2-An*Sn+2An可得：
(Sn)^2+(An)^2+1^2-2Sn-2An*Sn+2An=(An)^2-An*Sn+2An

左边是(a+b+c)^2的展开式，因式分解得：
(Sn-An-1)^2=An(An-Sn+1)+An

右边一部分提取An因子可得：
(Sn-An-1)^2=An-An(Sn-An-1)

右边的An(Sn-An-1)移到左边可得：
(Sn-An-1)(Sn-An-1+An)=An

根据Sn-An=S(n-1)代换可得：
(S(n-1)-1)(Sn-1)=An

同理将右边等量代换可得：
(S(n-1)-1)(Sn-1)=Sn-S(n-1)

根据a-b=(a-1)-(b-1)将右边变形可得：
(S(n-1)-1)(Sn-1)=(Sn-1)-(S(n-1)-1)

设Sn-1=tn，那么S(n-1)-1=t(n-1)
代入上式可得：
t(n-1)*tn=tn-t(n-1)

两边同时除以t(n-1)*tn可得：
1=1/t(n-1)-1/tn

再设1/tn=kn，则1/t(n-1)=k(n-1)
代入上式可得：
1=k(n-1)-kn

显然kn是递减数列，公差为-1，因此：
kn=k1-(n-1)

又因为
a1=1/2
而根据S1=a1,因此：
S1=1/2
而根据Sn-1=tn
t1=S1-1=1/2-1=-1/2
而根据1/tn=kn
k1=1/t1=1/(-1/2)=-2

将k1代入刚才推导出的kn=k1-(n-1)可得：
kn=-2-(n-1)=-n-1

再带入1/tn=kn可得：
tn=-1/(n+1)

再带入Sn-1=tn可得：
Sn=tn+1=1-1/(n+1)

根据An=Sn-S(n-1)可得：
An=Sn-S(n-1)=1/n-1/(n+1)=1/n(n+1)

(自己可以检验一下)