Question

已知如图1，线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.

已知如图1，线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：
(1) 在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个；
（3）在图2中，若∠D=40°,∠B=36°，试求∠P的度数；
（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系？说明理由

Answer 1

（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，
∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
∴∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个；
（3）∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
由①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P=∠D+∠B，
又∠D=40°，∠B=36°，
∴2∠P=40°+36°=76°，
∴∠P=38°．
（4）
关系∠P=1/2（∠B+∠D）
∠AMO=∠1+∠D=∠3+∠P①，
又∠ONC=∠4+∠B=∠2+∠P②，
由①、②得，∠1-∠3=∠P-∠D，
∠2-∠4=∠B-∠P，
由已知得，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1-∠3=∠2-∠4，
∴∠P-∠D=∠B-∠P，
∠P=1/2（∠B+∠D）

Answer 2

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（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，

∠AOD=∠BOC（对顶角相等），

∴∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个；

（3）∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
由①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P=∠D+∠B，
又∠D=40°，∠B=36°，
∴2∠P=40°+36°=76°，
∴∠P=38°．

（4）

关系∠P=1/2（∠B+∠D）

∠AMO=∠1+∠D=∠3+∠P①，
又∠ONC=∠4+∠B=∠2+∠P②，
由①、②得，∠1-∠3=∠P-∠D，
∠2-∠4=∠B-∠P，
由已知得，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1-∠3=∠2-∠4，
∴∠P-∠D=∠B-∠P，

∠P=1/2（∠B+∠D）