Question

已知f(x)=x-a\x2+bx+1是奇函数 求：（1）a,b的值；（2）f(x)的单调区间，并证明。

已知f(x)=x-a\x2+bx+1是奇函数 求：（1）a,b的值；（2）f(x)的单调区间，并证明。请教高手~~

Answer 1

1，因为F(x)是奇函数，所以F(-x)=-F(x)
即：(a-x)/(x^2-bx+1)=-(x+a)/(x^2+bx+1)
-(a-x)(x^2+bx+1)=(x+a)(x^2-bx+1)
(x-a)(x^2+bx+1)=(x+a)(x^2-bx+1)
x^3+(b-a)x^2+(1-ab)x-a=x^3+(a-b)x^2+(1-ab)x+a
(b-a)x^2-a=(a-b)x^2+a
2(b-a)x^2-2a=0
(b-a)x^2-a=0
可见，要想使上述等式恒成立，必须有a=b，则有a=0，即a=b=0。
即：所求a、b均为0
2，∵ f(x)=(x-a)/(x^+bx+1)是奇函数，∴ f(x)+f(-x)=0,即
(x-a)/(x^+bx+1)+(-x-a)/(x^-bx+1)=0,花简为[(a+b)x^+a]/[(x^+bx+1)(x^-bx+1)]=0, ∴ (a+b)x^+a=0对一切x∈R恒成立, ∴ a=b=0, 此时
f(x)=x/(x^+1)=1/[(x+(1/x)].
(1) x=0时,f(x)=0
(2) x>0时,由对勾函数的单调性知,x+(1/x)在(0,1]上递减,(1,+∞)上递增. ∴ f(x)在(0,1]上递增,(1,+∞)上递减. 由奇函数性质知,x<0时,f(x)在[-1,0)上递增,(-∞,-1)上递减.
∴ f(x)的单增区间是[-1,1],单减区间是(-∞,-1)∪(1,+∞).