Question

如图，三角形ABC为等腰Rt三角形，AB=AC，P为三角形ABC外一点，且PB⊥PC，试判断PA，PB，PC的关系并证明

Answer 1

解：PB+PC=√2PA

证明：过A作AD⊥PA，AD交PB的延长线于D，

∵∠BAC=90°，AD⊥PA，
∴∠DAP=90°=∠BAC，
∴∠1+∠2=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠4+∠ABP=180°，∠ABP+∠ACP=180°

∴∠4=∠ACP，
在△ADB和△APC中

∠1=∠3    

AB=AC    

∠4=∠ACP    

∴△ADB≌△APC（ASA），
∴PC=BD，AD=AP，
∴△DAP是等腰直角三角形，
由勾股定理得：DP=AP²+AP²=√2AP，

∵DP=BP+BD=BP+PC，
即PB+PC=√2PA

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