Question

若x+y=a+b,且x^2+y^2=a^2+b^2,求证:x^2010+y^2010=a^2010+b^2010

Answer 1

∵x＋y＝a＋b，∴x－a＝b－y。
一、当x－a＝b－y＝0时，有：x＝a、y＝b，此时自然有：x^2010＋y^2010＝a^2010＋b^2010。
二、当（x－a）、（b－y）均不为0时，
　　∵x^2＋y^2＝a^2＋b^2，∴x^2－a^2＝b^2－y^2，
　　∴（x＋a）（x－a）＝（b＋y）（b－y），而x－a＝b－y，且（x－a）、（b－y）均不为0，
　　∴x＋a＝b＋y。
　　∴（x＋a）＋（x－a）＝（b＋y）＋（b－y），∴2x＝2b，∴x＝b，进而得：y＝a，
　　∴x^2010＋y^2010＝a^2010＋b^2010。
综上一、二所述，得：x^2010＋y^2010＝a^2010＋b^2010。