Question

高中二次函数问题，只要第二问。

已知函数f(x)=x²-mx+m-1.
(1)若函数y=|f(x)|在[2,4]上单调递增,求实数m的取值范围；（2）是否存在整数a，b（其中a，b是常数，且a<b）,使得关于x的不等式a≦f(x)≦b的解集为{x|a≦xvb}？若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

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http://zhidao.baidu.com/prof/view/yq_whut

Answer 2

(2) 就是求出这样的a,b使得
f(x)在区间[a,b] 上使f(x)的最大值为b,最小值为a
m^2-4m+4>=0
首先 f(x)在直角坐标轴上是开口向上的
对称轴x=m/2
f(x)=(x-m/2)^2-m^2/4+m-1
分以下三种情况讨论

<1> a<b<=m/2
这时f(x)在[a,b]上是减函数
所以f(a)=b f(b)=a
a^2-ma+m-1=b ...(1)
b^2-mb+m-1=a....(2)
(1)-(2)得
(a-b)(a+b)-m(a-b)=b-a
a+b-m=-1 m-1=a+b 或(a-b=0 不符合 )
代入（1）得 a^2-ma+a+b=b
a^2+a-ma=0
a+1-m=0 或a=0
m=a+1 a=m-1 b=0或m-1=b
b=0 a=m-1<0 (m<1)
a=0 b=m-1>0 (m>1)
<2> m/2<=a<b
这时f(x)在[a,b]上是增函数
f(a)=a,f(b)=b
a^2-ma+m-1=a ..(1)
b^2-mb+m-1=b ...(2)
由(1)-(2)得
(a-b)(a+b) -m(a-b)=(a-b) (或a-b=0 不符合)
a+b-m=1 m=a+b-1
a^2-(a+b-1)a+a+b-1=a
a^2-a^2-ab+a+a+b-1=a
-ab+a+b-1=0
a(1-b)=1-b
(a-1)(1-b)=0
得a=1或b=1
当a=1时 b=m (a>=m/2 m<=2 a<b=m m>1 得1<m<=2)
当b=1时 a=m (a>=m/2 2m>=m m>=0 a=m<b=1 m<1 得0<=m<1)
<3> a<m/2<b
这时最小值就是f(m/2)=-m^2/4+m-1
最大值由f(a) ,f(b)来确定
若f(a)是最大值则
f(a)=a^2-am+m-1= b ..(1)
f(m/2)=-m^2/4+m-1=a ..(2)
b=(-m^2/4+m-1)^2-(-m^2/4+m-1)m+m-1
且-m^2/4+m-1=a<m/2
-m^2/4+m/2-1<0
m^2-2m+4>0 这是成立的
且-m^2/4+m-1=a<(-m^2/4+m-1)^2-(-m^2/4+m-1)m+m-1=b
(m-2)^4/16 +(m-2)^2/4 *(m-1)+m-1>=0
(m-2)^4+4(m-2)^2*(m-1)+16(m-1)>=0 可以求得m范围
若f(b)是最大值则
f(b)=b^2-bm+m-1=b ...(1)
f(m/2)=-m^2/4+m-1=a ..(2)
由(1)得
b^2-b(m-1)+(m-1)=0
(m-1)^2-4(m-1)>=0 (m-1)(m-5)>=0 m<=1或m>=5
b1=(m-1+根号((m-1)^2-4(m-1)))/2 b2=(m-1-根号((m-1)^2-4(m-1)))/2
可以由b=b1>a 或b=b2>a来确定m的范围

综上所述
只有当m在一定的范围内时 a,b才是存在的

Answer 3

 

再给楼主一道同类型的以作对比参考~~

http://zhidao.baidu.com/question/303787036022319244.html?sort=6&old=1#here

Answer 4

（1）依题意：|f(2)|＜|f（4）|
即|2²-2m+m-1|＜|4²-4m+m-1|
|3-m|＜|15-3m|
(3-m)²＜(15-3m)²
9+m²-6m＜225+9m²-90m
8m²-84m+216＞0
(2m-9)(4m-24)＞0
①2m-9＞0且4m-24＞0
解得m＞6
②2m-9＜0且4m-24＜0
解得m＜2/9
∴综上所述m＜2/9或m＞6
这只是第一问,后面的先采纳我告诉你

Answer 5

题：已知函数f(x)=x^2-mx+m-1。是否存在整数a、b（其中a，b是常数，且a<b)，使得关于x的不等式a≤f(x)≤b的解集为{x|a≤x≤b}？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由。
解：据题意有f(a)＝a，f(b)＝b，即
a^2－ma＋m－1＝a，b^2－mb＋m－1＝b，
a^2－（m＋1）a＋m－1＝0，b^2－（m＋1）b＋m－1＝0。
∵a＜b，∴a＝［m＋1－√（m^2－2m＋5）］／2，b＝［m＋1＋√（m^2－2m＋5）］／2。
∵抛物线f(x)＝x^2－mx＋m－1开口向上，对称轴为x＝m／2，f(x)在［a，b］区间单调递增，
∴a≥m／2，即［m＋1－√（m^2－2m＋5）］／2≥m／2，解得m＝2。
将m＝2代入a＝［m＋1－√（m^2－2m＋5）］／2和b＝［m＋1＋√（m^2－2m＋5）］／2，
得a＝1，b＝2。
∴存在整数a＝1、b＝2，使得不等式a≤f(x)≤b的解集为{x|a≤x≤b}。