Question

求证：不论k为何值，一次函数（2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0的图像恒过一定点。

我知道答案：是（2 , 3），但为什么一定会通过这个定点，别的就为什么不行？

Answer 1

若此族函数曲线恒过一点，那么任取k的值，带入后，定会交与此点。
故不妨令k=0，得到函数f1，令k=1，得到函数f2.
联立两函数f1，f2，得到x=2，y=3.
那么如果存在不动点，则一定是（2,3）。
下面证明此点是不动点：
将x=2,y=3带入原函数，得到恒等式0=0，说明不管k是几，x=2，y=3，总是在这族函数曲线上的。故，存在不动点，为（2，3）。

Answer 2

证明：
（2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0
2kx-x-ky-3y-k+11=0
(2x-y-1)k=x+3y-11
当2x-y-1=0且x+3y-11=0时，不论k取何值，等式恒成立
解方程组得x=2,y=3
即当x=2,y=3时，（2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒成立
即一次函数（2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过点（2，3）

Answer 3

解：∵一次函数（2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0的图像与k值无关
2kx－x－ky－3y－k＋11＝0
﹙2x－y－1﹚k－x－3y＋11＝0
∴ 2x－y－1＝0
﹣x－3y＋11＝0
解得： x＝2
y＝3
∴此函数的图像恒过点﹙2,3﹚。

Answer 4

（2k-1)x-(k+3)y-(k-11)= 2kx-x-ky-3y-k+11=k(2x-y-1) -x-3y+11 =0
2x-y-1=0 ,,,-x-3y+11=0,,所以x=2.y=3

追问

不是一条直线吗？那为什么别的点就不行呢？

追答

过点（2.3）的是无数条直线。不是一条，